2021-2022年高中数学第四章圆的方程1.1圆的标准方程2教案新人教版必修2202202262105

PAGEPAGE8圆的标准方程●三维目标1．知识与技能(1)掌握圆的标准方程．(2)会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程．(3)会判断点与圆的位置关系．2．过程与方法(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力．(2)加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用．(3)增强学生用数学的意识．3．情感、态度与价值观(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识．(2)在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣．●重点难点重点：圆的标准方程及点与圆的位置关系．难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程．重难点突破：以圆的定义为切入点，结合坐标法，让学生导出圆的标准方程，考虑到不同条件下求圆的标准方程的难度，教学时，可借助具体实例，通过让学生“看一看、想一想、练一练”等方式熟悉圆心、半径与圆的标准方程之间的关系，逐步理解圆的标准方程中三个参数的重要性，自然形成待定系数法的解题思路，在突出重点的同时化解难点．【课前自主导学】课标解读1.会用定义推导圆的标准方程并掌握圆的标准方程的特征．(重点)2.能根据所给条件求圆的标准方程．(重点、难点)3.掌握点与圆的位置关系．(易错点)圆的标准方程【问题导思】1．在平面内，圆是如何定义的？【提示】在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合．2．在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心以2为半径的圆能否用方程(x－1)2＋(y－2)2＝4来表示？【提示】能．圆的标准方程(1)以C(a，b)为圆心，r(r>0)为半径的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(2)以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.点与圆的位置关系【问题导思】点A(1,1)，B(3,0)，C(eq\r(2)，eq\r(2))同圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r＝2什么关系？【提示】|OA|<2，|OB|>2，|OC|＝2.点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：位置关系点在圆外点在圆上点在圆内d与r的大小关系d＞rd＝rd＜r【课堂互动探究】直接法求圆的标准方程求满足下列条件的圆的标准方程．(1)圆心为点A(－2,3)，半径为eq\r(2)；(2)经过点A(5,1)，圆心为点C(8，－3)．【思路探究】只要有确定的圆心与半径，就可以写出圆的标准方程．【自主解答】(1)圆的标准方程为：(x＋2)2＋(y－3)2＝2.(2)法一圆的半径为|AC|＝eq\r(5－82＋1＋32)＝5，圆心为(8，－3)．∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.法二设圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝r2，∵点A(5,1)在圆上，∴(5－8)2＋(1＋3)2＝r2，∴r2＝25，∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．(2013·咸阳高一检测)圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1【解析】设圆心坐标为(0，b)，则由题意知eq\r(0－12＋b－22)＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.【答案】A点与圆的位置关系已知一个圆的圆心在点C(－3，－4)，且经过原点．(1)求该圆的标准方程；(2)判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．【思路探究】eq\x(直接法求圆的标准方程)eq\o(→,\s\up17(分析))eq\x(点与圆心的距离同半径的关系)→eq\x(下结论)【自主解答】(1)∵圆心是C(－3，－4)，且经过原点，∴圆的半径r＝eq\r(－3－02＋－4－02)＝5，∴圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.(2)∵eq\r(－1＋32＋0＋42)＝eq\r(4＋16)＝2eq\r(5)＜5，∴P1(－1,0)在圆内；∵eq\r(1＋32＋－1＋42)＝5，∴P2(1，－1)在圆上；∵eq\r(3＋32＋－4＋42)＝6＞5，∴P3(3，－4)在圆外．判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法和代数法两种：(1)对于几何法，主要是利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系作出判断：①d>r，点在圆外；②d＝r，点在圆上；③d<r，点在圆内．(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下：①当(x0－a)2＋(y0－b)2<r2时，点在圆内；②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上；③当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点在圆外．点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()A．a<－1或a>1 B．－1<a<1C．0<a<1 D．a＝±1【解析】由题意可知，(1－a)2＋(1＋a)2<4，解得a2<1，解得－1<a<1.【答案】B待定系数法或几何法求圆的标准方程求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程．【思路探究】思路一：设圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，利用A，B及圆心所在位置求参数a，b，r.思路二：设圆的圆心坐标C(a,2－a)，利用|AC|＝|BC|求a及圆的半径．思路三：利用圆的几何性质：弦AB的中垂线与直线x＋y－2＝0的交点必为圆心，求圆的标准方程．【自主解答】法一设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－1－b2＝r2，,－1－a2＋1－b2＝r2，,a＋b－2＝0，))解此方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r2＝4.))故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)．又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.∴eq\r(a－12＋2－a＋12)＝eq\r(a＋12＋2－a－12)，解得a＝1.∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝|CA|＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法三由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝eq\f(1－－1,－1－1)＝－1，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，∴AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即圆心为(1,1)，圆的半径为eq\r(1－12＋[1－－1]2)＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.1．给定条件，求圆的标准方程时，一般有两种方法：(1)用待定系数法，其一般步骤如下：①根据题意，设出所求圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2；②根据已知条件，建立关于a，b，r的方程组；③解方程组，求出a，b，r的值；④将a，b，r的值代入所设的方程，即为所求圆的方程．这种方法体现了方程的思想，思路直接，是通用方法，如本题法一、法二．(2)由圆的几何性质直接求出圆心坐标和半径，然后代入标准式写方程．这种方法要充分利用圆的几何性质，但计算相对较容易．如本题法三．2．求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心．(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．(3)圆心与切点的连线长是半径长．(4)圆心与切点的连线必与切线垂直．把本例条件“圆心在直线x＋y－2＝0上”换成“圆心在x轴上”，求相应问题．【解】∵圆心在x轴上，∴设圆心坐标为(a,0)，由题意可知(a－1)2＋1＝(a＋1)2＋1，解得a＝0，∴圆的半径r＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，故所求圆的标准方程为x2＋y2＝2.【易错易误辨析】求圆的标准方程时以“形”代“数”致误已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．【错解】如图，由题设知|AB|＝8，|AC|＝5.在Rt△AOC中，|OC|＝eq\r(|AC|2－|OA|2)＝eq\r(52－42)＝3.∴C点坐标(3,0)，∴所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝25.【错因分析】上述求解的错误在于以“形”代“数”只画出了圆心在x轴正半轴的情况，没有画出圆心在x轴负半轴的情况而产生漏解．【防范措施】借助图形解决数学问题，只能是定性地分析，而不能定量研究，要定量研究问题，就应考虑到几何图形的各种情况，本题出错就是由于考虑问题不全面所致．【正解】由题意设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，所以|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝eq\r(|AC|2－|AO|2)＝eq\r(52－42)＝3，如图所示．∴圆心坐标为(3,0)或(－3,0)．∴所求圆的方程为(x±3)2＋y2＝25.【课堂小结】1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另依据题意适时的运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷．【当堂达标检测】1．圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标是()A．(2,1) B．(2，－1)C．(－2,1) D．(－2，－1)【解析】结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，－1)．【答案】B2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝4C．(x－2)2＋(y－2)2＝8 D．x2＋y2＝eq\r(2)【解析】以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.【答案】B3．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝4C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4【解析】由题意知，圆心到直线的距离即为圆的半径，即r＝eq\f(|1＋1－4|,\r(12＋12))＝eq\r(2)，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.【答案】A4．已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P，Q为直径端点的圆的标准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．【解】由已知条件及圆的性质可知，圆心M在直径PQ的中点处，∴圆心M的坐标为(0,1)，半径r＝eq\f(1,2)|PQ|＝eq\f(1,2)×eq\r(－5－52＋6＋42)＝5eq\r(2).∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.∵|AM|＝eq\r(2－02＋2－12)＝eq\r(5)<r，∴点A在圆内．∵|BM|＝eq\r(1－02＋8－12)＝eq\r(50)＝r，∴点B在圆上．∵|CM|＝eq\r(6－02＋5－12)＝eq\r(52)>r，∴点C在圆外.【课后知能检测】一、选择题1．(2014·温州高一检测)点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都不对【解析】将点P的坐标代入圆的方程的等号的左边，有(－2)2＋(－2)2＝8>4，故点P在圆外．【答案】B2．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是()A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9【解析】由题意可知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.【答案】D3．圆心为(0,4)，且过点(3,0)的圆的方程为()A．x2＋(y－4)2＝25B．x2＋(y＋4)2＝25C．(x－4)2＋y2＝25D．(x＋4)2＋y2＝25【解析】由题意，圆的半径r＝eq\r(0－32＋4－02)＝5，则圆的方程为x2＋(y－4)2＝25.【答案】A4．已知点A(3，－2)，B(－5,4)，则以线段AB为直径的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋1)2＝25B．(x＋1)2＋(y－1)2＝25C．(x－1)2＋(y＋1)2＝100D．(x＋1)2＋(y－1)2＝100【解析】圆心为AB的中点(－1,1)，半径为eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(1,2)eq\r(3＋52＋－2－42)＝5，∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝25.【答案】B5．已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是()A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13B．(x－2)2＋(y＋3)2＝13C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52【解析】如图，结合圆的性质可知，圆的半径r＝eq\r(2－02＋－3－02)＝eq\r(13).故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.【答案】B二、填空题6．与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心且过点P(－1,1)的圆的方程是________．【解析】圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心为(2，－3)，设圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝r2，由点P(－1,1)在圆上可知(－1－2)2＋(1＋3)2＝r2，解得r2＝25.故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.【答案】(x－2)2＋(y＋3)2＝257．点P(1，－1)在圆x2＋y2＝r的外部，则实数r的取值范围是________．【解析】由题意得12＋(－1)2>r，即r<2，又r>0，故r的取值范围是(0,2)．【答案】(0,2)8．(2014·苏州高一检测)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为________．【解析】设圆心坐标为(a,0)，易知eq\r(a－52＋－12)＝eq\r(a－12＋－32)，解得a＝2.所以圆心为(2,0)，半径长为eq\r(10)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.【答案】(x－2)2＋y2＝10三、解答题9．求以直线2x＋y－4＝0与两坐标轴的一个交点为圆心，过另一个交点的圆的方程．【解】令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝2，所以直线与两坐标轴交点坐标为A(0,4)和B(2,0)，|AB|＝eq\r(0－22＋4－02)＝eq\r(20)，以A为圆心过B的圆方程为x2＋(y－4)2＝20，以B为圆心过A的圆方程为(x－2)2＋y2＝20.10．已知点A(1,2)和圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2，试分别求满足下列条件的实数a(1)点A在