2022年山西省阳泉市东回中学高三数学文上学期期末试题含解析

2022年山西省阳泉市东回中学高三数学文上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.一个样本容量为的样本数据，它们组成一个公差不为的等差数列，若，且成等比数列，则此样本的中位数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A2.已知函数满足，，则的零点个数最多有

A.

B.

C.

D.参考答案：D略3.已知偶函数y=f（x）对于任意的满足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式中成立的是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】设g（x）=，则可判断g（x）在[0，）上单调递增，利用g（x）的单调性，结合f（x）的奇偶性即可判断．【解答】解：设g（x）=，则g′（x）=＞0，∵对于任意的满足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0，∴g（x）在[0，）上是增函数，∴g（0）＜g（）＜g（）＜g（），即f（0）＜＜＜，∴f（）＞f（），f（0）＜f（），f（）＜f（），又f（x）是偶函数，∴f（﹣）＞f（），f（﹣）＞f（﹣），f（0）＜f（﹣），故选D．4.如图是某班50们学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：，则图中的值等于（

）A．0.012

B．0.018

C．0.024

D．0.016参考答案：C试题分析：由图得，解得．故选C．考点：频率分布直方图．【方法点睛】由样本频率分布直方图，分别估计总体的众数、中位数和平均数的方法：（1）众数：最高矩形下端中点的横坐标；（2）中位数：直方图面积平分线与横轴交点的横坐标；（3）平均数：每个小矩形的面积与小矩形底边中点的横坐标的乘积之和.利用直方图求众数、中位数、平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致．但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数．本题主要考查由样本频率分布直方图，估计总体的平均数以及古典概率，属于基础题．5.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：?x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：?x∈A，2x∈B B．￢p：?x?A，2x∈B C．￢p：?x∈A，2x?B D．￢p：?x?A，2x?B参考答案：C【考点】命题的否定；特称命题．【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题．【解答】解：∵“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，∴命题p：?x∈A，2x∈B的否定是：￢p：?x∈A，2x?B．故选C．6.f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，对?x1∈－1,2，?x0∈－1,2，使g(x1)＝f(x0)，则a的取值范围是()A．

B．C．3，＋∞)D．(0,3参考答案：A7.

已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于（

）A.2

B.3

C.4

D.

参考答案：C8.已知是三次函数的两个极值点，且,则的取值范围是

（）

A.

B.

C.

D.参考答案：A9.已知函数f（x）=，若f（a）=0，则实数a的值等于(

)A．﹣3 B．1 C．﹣3或1 D．﹣1或3参考答案：C【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】利用分段函数，建立方程，即可求出实数a的值．【解答】解：当a＞0时，f（a）=lga=0，∴a=1；当a≤0时，f（a）=a+3=0，∴a=﹣3，综上，a=1或﹣3．故选：C．【点评】本题考查分段函数的应用，考查学生的计算能力，比较基础．10.下列函数中，既是奇函数又存在极值的是

(

)

A.

B. C.

D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若函数在(0,+∞)上仅有一个零点，则a=__________．参考答案：【分析】令，并将其化为，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得其极大值，令等于这个极大值，解方程求得的值.【详解】令并化简得，，构造函数，，由于，故函数在上导数小于零，递减，在上导数大于零，递增，由，，当，有,当时，，且时，,函数在处取得极大值也是最大值为，又，所以当时，只有，解得.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数零点问题，考查构造函数法，考查极值、最值的求法，属于中档题.12.设则的值等于__参考答案：13.函数y=tan（x﹣）的单调递增区间是．参考答案：（﹣+kπ，+kπ），k∈Z考点： 正切函数的图象．专题： 三角函数的图像与性质．分析： 根据正切函数的图象与性质，即可求出函数y=tan（x﹣）的单调递增区间．解答： 解：根据正切函数的图象与性质，令﹣+kπ＜x﹣＜+kπ，k∈Z；得：﹣+kπ＜x＜+kπ，k∈Z，∴函数y=tan（x﹣）的单调递增区间是（﹣+kπ，+kπ），k∈Z．故答案为：（﹣+kπ，+kπ），k∈Z．点评： 本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，解题时应利用正切函数的图象与性质，列出不等式，求出解集来．14.已知奇函数f（x）=，则f（﹣2）的值为．参考答案：﹣8【考点】3T：函数的值．【分析】由f（x）为R上的奇函数可得f（0）=0，从而可得a值，设x＜0，则﹣x＞0，由f（﹣x）=﹣f（x）得3﹣x﹣1=﹣f（x），由此可得f（x），即g（x），即可求得f（﹣2）．【解答】解：因为奇函数f（x）的定义域为R，所以f（0）=0，即30﹣a=0，解得a=1，设x＜0，则﹣x＞0，f（﹣x）=﹣f（x），即3﹣x﹣1=﹣f（x），所以f（x）=﹣3﹣x+1，即g（x）=﹣3﹣x+1，所以f（﹣2）=g（﹣2）=﹣32+1=﹣8．故答案为：﹣8．15.如图，的等腰直角三角形与正三角形所在平面互相垂直，是线段的中点，则与所成角的大小为

参考答案：16.直线的纵截距是

。参考答案：-117.已知定义在R上函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）=0，且当x＞0时，f（x）=1+ax，若f（﹣1）=﹣，则实数a=．参考答案：【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】由题意，f（﹣x）=﹣f（x），f（1）=，利用当x＞0时，f（x）=1+ax，建立方程，即可求出a的值．【解答】解：由题意，f（﹣x）=﹣f（x），f（1）=，∵当x＞0时，f（x）=1+ax，∴1+a=，∴．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数R，曲线在点处的切线方程为．

（1）求的解析式；

（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）设是正整数，用表示前个正整数的积，即．求证：．参考答案：解（1）∵，

∴.

∵直线的斜率为，且曲线过点，

∴即解得.

所以

（2）由（1）得当时，恒成立即，等价于.令，则.

令，则.当时，，函数在上单调递增，故.从而，当时，，即函数在上单调递增，故.

因此，当时，恒成立，则.

∴的取值范围是.

（3）由（2）知，当时，（时），又时也成立，所以当时，，于是，，，

，

略19.已知函数f（x）=+lnx﹣1（a是常数，e≈=2.71828）．（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e2]上有两解，求实数m的取值范围；（3）求证：n∈N*，ln（en）＞1+．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）先根据x=2是函数f（x）的极值点求出a的值，然后利用导数求出切线的斜率，从而可求出切线方程；（2）利用导数研究函数的单调性，求出函数f（x）的最小值，以及区间端点的函数值，结合图象可得m的取值范围；（3）等价于，若a=1时，由（2）知f（x）在[1，+∞）上为增函数，可证得，从而可得结论．【解答】解：（1）．因为x=2是函数f（x）的极值点，所以a=2，则f（x）=，则f（1）=1，f'（1）=﹣1，所以切线方程为x+y﹣2=0；（2）当a=1时，，其中x∈[，e2]，当x∈[，1）时，f'（x）＜0；x∈（1，e2]时，f'（x）＞0，∴x=1是f（x）在[，e2]上唯一的极小值点，∴[f（x）]min=f（1）=0．又，，综上，所求实数m的取值范围为{m|0＜m≤e﹣2}；（3）等价于，若a=1时，由（2）知f（x）=在[1，+∞）上为增函数，当n＞1时，令x=，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，即，∴．故即，即．20.如图，椭圆C1：+y2=1，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（1）求实数b的值；（2）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA、MB分别与C1相交于D、E．①证明：?=0；②记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．若=λ，求λ的取值范围．参考答案：【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（1）确定半长轴为2，利用x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长，可求b的值；（2）①设直线的方程与抛物线方程联立，利用点M的坐标为（0，﹣1），可得kMAkMB=﹣1，从而得证；②设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x﹣1，代入抛物线方程可得x2=k1x，从而可得点A的坐标、点B的坐标，进而可得S1，同理可得S2，进而可得比值，由此可得λ的取值范围．【解答】（1）解：由题意知：半长轴为2，则有2=2

…（3分）∴b=1

…（4分）（2）①证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线的方程为y=kx．与抛物线方程联立，消去y可得x2﹣kx﹣1=0，…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1+x2=k，x1x2=﹣1．…（7分）又点M的坐标为（0，﹣1），所以kMAkMB=×==﹣1…（9分）故MA⊥MB，即MD⊥ME，故

…（10分）②设直线的斜率为k1，则直线的方程为y=k1x﹣1，代入抛物线方程可得x2=k1x，解得x=0或x=k1，则点A的坐标为（k1，）…（12分）同理可得点B的坐标为．于是==直线的方程为y=k1x﹣1，代入椭圆方程，消去y，可得（）x2﹣8k1x=0，解得x=0或x=，则点D的坐标为；

…（14分）同理可得点E的坐标于是S2==因此，…（16分）又由点A，B的坐标可知，k==，平方后代入上式，所以λ=故λ的取值范围为[）．

…（18分）【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与抛物线、椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．21.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲（1）已知函数，求x的取值范围，使为常函数；（2）若求的最大值。参考答案：（1）（2）3【知识点】选修4-5不等式选讲解析：（1）

………..4分

则当时，为常函数.

………..5分（2）由柯西不等式得:

所以

因此M的最大值为3.【思路点拨】(1)把绝对值不等式化为分段函数观察即可求解,(2)由柯西不等式直接求解.22.（13分）已知函数φ（x）=lnx．（1）若曲线g（x）=φ（x）+﹣1在点（2，g（2））处的切线与直线3x+y﹣1=0平行，求a的值；（2）求证函数f（x）=φ（x）﹣在（0，+∞）上为单调增函数；（3）设m，n∈R+，且m≠n，求证：＜||．参考答案：考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题： 证明题；导数的综合应用．分析： （1）先求出g（x）的导数g′（x），求出g′（2），根据条件得到g′（2）=﹣3，解出a的值；（2）可先求出f（x）的导数f′（x），并化简整理、因式分解，由条件x＞0，即可判断导数的符号，从而得证；（3）设m＞n＞0，应用分析法证明，要证原不等式成立，可以适当变形，只需证，然后构造函数h（x）=lnx﹣（x＞1），应用导数说明h（x）在（1，+∞）上是单调增函数，