2021-2022年高中数学第四章圆的方程1.1圆的标准方程4作业含解析新人教版必修220220226198

PAGEPAGE6圆的标准方程A组基础巩固1．以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝10B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x－1)2＋(y－2)2＝5D．(x－1)2＋(y－2)2＝25解析：圆心坐标为(1,2)，半径r＝eq\r(5－12＋5－22)＝5，故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.答案：D2．方程y＝eq\r(9－x2)表示的曲线是()A．一条射线B．一个圆C．两条射线D．半个圆解析：y＝eq\r(9－x2)可化为x2＋y2＝9(y≥0)，故表示的曲线为圆x2＋y2＝9位于x轴及其上方的半个圆．答案：D3．△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,0)，B(3,0)，C(3,4)，则△ABC的外接圆方程是()A．(x－2)2＋(y－2)2＝20B．(x－2)2＋(y－2)2＝10C．(x－2)2＋(y－2)2＝5D．(x－2)2＋(y－2)2＝eq\r(5)解析：易知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，所以圆心是斜边AC的中点(2,2)，半径是斜边长的一半，即r＝eq\r(5)，所以外接圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.答案：C4．圆心为C(－1,2)，且一条直径的两个端点落在两坐标轴上的圆的方程是()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5B．(x－1)2＋(y＋2)2＝20C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5D．(x＋1)2＋(y－2)2＝20解析：本题考查确定圆的方法．因为直径的两个端点在两坐标轴上，所以该圆一定过原点，所以半径r＝eq\r(－1－02＋2－02)＝eq\r(5)，又圆心为C(－1,2)，故圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，故选C.答案：C5．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6B．4C．3D．2解析：本题考查圆的性质．由题意，知|PQ|的最小值即为圆心到直线x＝－3的距离减去半径长，即|PQ|的最小值为6－2＝4，故选B.答案：B6．若直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：本题考查圆的圆心坐标的位置判断．因为直线y＝ax＋b经过第一、二、四象限，所以a＜0，b＞0，即－a＞0，－b＜0，所以圆心(－a，－b)在第四象限，故选D.答案：D7．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝1关于原点对称的圆的方程是__________．解析：本题考查圆的性质．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝1的圆心坐标为(－2，－3)，半径为1，则关于原点对称的圆的圆心坐标为(2,3)，半径不变，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.答案：(x－2)2＋(y－3)2＝18．点(5eq\r(a)＋1，eq\r(a))在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是__________．解析：由于点在圆的内部，所以(5eq\r(a)＋1－1)2＋(eq\r(a))2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a＜1.答案：0≤a＜19．圆x2＋y2＝4上的点到点A(3,4)的距离的最大值和最小值分别为________．解析：∵32＋42＝25>4，∴点A(3,4)在圆外．已知圆的半径r＝2，|OA|＝eq\r(32＋42)＝5.结合图形可知，圆上的点到点A(3,4)的距离的最大值为|OA|＋r＝7，最小值|OA|－r＝3.答案：7和310．已知圆心在x轴上的圆C与y轴交于两点A(1,0)，B(5,0)．(1)求此圆的标准方程；(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．解析：(1)由题意，结合图(1)可知圆心(3,0)，r＝2，所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.(2)如图(2)所示，过点C作CD垂直于直线x－y＋1＝0，垂足为D.由点到直线的距离公式可得|CD|＝eq\f(|3＋1|,\r(2))＝2eq\r(2).又P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2.结合图形易知点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2eq\r(2)＋2，最小值为2eq\r(2)－2.图(1)图(2)B组能力提升11．已知圆C：x2＋y2＋ax＋2y＋a2＝0和定点A(1,2)，要使过点A的圆C的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是()A．(－eq\f(2\r(3),3)，eq\f(2\r(3),3))B．(－eq\f(\r(3),3)，eq\f(\r(3),3))C．(－∞，＋∞)D．(0，＋∞)解析：本题主要考查点与圆的位置关系．通过配方可得圆C的标准方程为(x＋eq\f(a,2))2＋(y＋1)2＝eq\f(4－3a2,4).由题意知点A(1,2)在圆外，得(1＋eq\f(a,2)2)＋(2＋1)2＞eq\f(4－3a2,4)＞0，解得－eq\f(2\r(3),3)＜a＜eq\f(2\r(3),3)，即实数a的取值范围是(－eq\f(2\r(3),3)，eq\f(2\r(3),3))．故选A.答案：A12．已知圆M的圆心坐标为(3,4)，且A(－1,1)，B(1,0)，C(－2,3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为__________．解析：本题考查点与圆的位置关系．∵|MA|＝eq\r(－1－32＋1－42)＝5，|MB|＝eq\r(1－32＋0－42)＝2eq\r(5)，|MC|＝eq\r(－2－32＋3－42)＝eq\r(26)，∴|MB|＜|MA|＜|MC|，∴点B在圆M内，点A在圆M上，点C在圆M外，∴圆的半径r＝|MA|＝5，∴圆M的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.答案：(x－3)2＋(y－4)2＝2513．已知圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4，一束光线从点A(－1,1)经x轴反射到圆周上，求光线的最短路程，并求此时的反射光线和入射光线的方程．解析：如图，作点A(－1,1)关于x轴的对称点A′(－1，－1)，连接A′C，交x轴于点B，连接AB.由平面几何的知识可知，光线从点A经x轴反射到圆周上的最短路程等于|A′C|－r.圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4的圆心为(5,7)，半径为2.|A′C|＝eq\r(5＋12＋7＋12)＝10，∴该最短距离为10－2＝8.由直线方程的两点式得，反射光线A′C的方程为eq\f(y＋1,7＋1)＝eq\f(x＋1,5＋1)，即4x－3y＋1＝0.同理，作C点关于x轴的对称点C′(5，－7)，连接AC′，AC′即为入射光线，其方程为eq\f(y－1,－7－1)＝eq\f(x＋1,5＋1)，即4x＋3y＋1＝0.14．平面直角坐标系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四点，这四点能否在同一个圆上，为什么？解析：设过A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.将A，B，C三点的坐标分别代入有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋1－b2＝r2，,2－a2＋1－b2＝r2，,3