2022年四川省成都市树德协进中学高二数学理联考试题含解析

2022年四川省成都市树德协进中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.对于实数和，定义运算，运算原理如右图所示，则式子的值为（

）A．8

B．10 C．12

D．参考答案：C略2.（5分）“因为对数函数y=logax是增函数（大前提），而y=是对数函数（小前提），所以y=是增函数（结论）．”上面推理的错误是（）A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错参考答案：A当a＞1时，对数函数y=logax是增函数，当0＜a＜1时，对数函数y=logax是减函数，故推理的大前提是错误的,故选A．3.若点A的坐标是（4，2），F是抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使得|PA|+|PF|取得最小值，则P点的坐标是A．（1，2） B．（2，1） C．（2，2）

D．（0，1）参考答案：C4.已知集合，，那么集合等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D5.已知函数f（x）=的最小值为f（0），则a的取值范围是(

) A．[﹣1，] B．[﹣1，0] C．[0，] D．[0，2]参考答案：C考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：由分段函数可得当x=0时，f（0）=4a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有4a2≤x++a+1，x＞0恒成立，运用基本不等式，即可得到右边的最小值5+a，解不等式4a2≤5+a，即可得到a的取值范围．解答： 解：由于f（x）=，则当x=0时，f（0）=4a2，由于f（0）是f（x）的最小值，则（﹣∞，0]为减区间，即有a≥0，则有4a2≤x++a+1，x＞0恒成立，由x+≥2=4，当且仅当x=2取最小值4，则4a2≤5+a，解得﹣1≤a≤．综上，a的取值范围为[0，]．故选：C．点评：本题考察了分段函数的应用，考查函数的单调性及运用，同时考查基本不等式的应用，是一道中档题，也是易错题．6.定义在R上的函数f（x）满足，当x∈[0，2）时，，函数g（x）=x3+3x2+m．若?s∈[﹣4，﹣2），?t∈[﹣4，﹣2），不等式f（s）﹣g（t）≥0成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣12] B．（﹣∞，﹣4] C．（﹣∞，8] D．参考答案：C【考点】其他不等式的解法．【分析】由f（x+2）=f（x）得f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4，x∈[﹣4，﹣3]，f（﹣）=2f（﹣）=﹣8，?s∈[﹣4，2），f（s）最小=﹣8，借助导数判断：?t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，不等式f（s）﹣g（t）≥0恒成立，得出f（s）小=﹣8≥g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，求解即可．【解答】解：∵当x∈[0，2）时，，∴x∈[0，2），f（0）=为最大值，∵f（x+2）=f（x），∴f（x）=2f（x+2），∵x∈[﹣2，0]，∴f（﹣2）=2f（0）=2×=1，∵x∈[﹣4，﹣3]，∴f（﹣4）=2f（﹣2）=2×1=2，∵?s∈[﹣4，2），∴f（s）最大=2，∵f（x）=2f（x+2），x∈[﹣2，0]，∴f（﹣）=2f（）=2×（﹣2）=﹣4，∵x∈[﹣4，﹣3]，∴f（﹣）=2f（﹣）=﹣8，∵?s∈[﹣4，2），∴f（s）最小=﹣8，∵函数g（x）=x3+3x2+m，∴g′（x）=3x2+6x，3x2+6x＞0，x＞0，x＜﹣2，3x2+6x＜0，﹣2＜x＜0，3x2+6x=0，x=0，x=﹣2，∴函数g（x）=x3+3x2+m，在（﹣∞，﹣2）（0，+∞）单调递增．在（﹣2，0）单调递减，∴?t∈[﹣4，﹣2），g（t）最小=g（﹣4）=m﹣16，∵不等式f（s）﹣g（t）≥0，∴﹣8≥m﹣16，故实数满足：m≤8，故选C．7.下列说法中正确的是(

)A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大B．事件A，B同时发生的概率一定比事件A，B恰有一个发生的概率小C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件参考答案：D【考点】互斥事件与对立事件；命题的真假判断与应用．【分析】互斥事件是不可能同时发生的事件，而对立事件是A不发生B就一定发生的事件，他两个的概率之和是1．【解答】解：由互斥事件和对立事件的概念知互斥事件是不可能同时发生的事件对立事件是A不发生B就一定发生的事件，故选D【点评】对立事件包含于互斥事件，是对立事件一定是互斥事件，但是互斥事件不一定是对立事件，认识两个事件的关系，是解题的关键．8.已知公比为2的等比数列{an}中，a2+a4+a6=3，则a5+a7+a9的值为(

)A．12 B．18 C．24 D．6参考答案：C【考点】等比数列的性质．【专题】计算题．【分析】将所求式子利用等比数列的通项公式化简，提取q3，再利用等比数列的通项公式化简，将已知的等式代入，计算后即可求出值．【解答】解：∵公比是2的等比数列{an}中，a2+a4+a6=3，则a5+a7+a9=a1q4+a1q6+a1q8=q3（a1q+a1q3+a1q5）=q3（a2+a4+a6）=8×3=24．故选C【点评】此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的通项公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．9.在空间中，“两条直线没有公共点”是这两条直线平行的充分不必要条件

必要不充分条件充要条件

既不充分也不必要条件参考答案：BB略10.某一算法流程图如右图，输入，则输出结果为（

）A. B.0 C. D.参考答案：A【分析】根据程序框图，逐步执行，即可得出结果.【详解】由题意，因为，所以计算，因此输出.故选A【点睛】本题主要考查程序框图，分析框图的作用，逐步执行即可，属于常考题型.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的图象在点处的切线方程为__________．参考答案：【分析】求导，利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式方程写出切线方程。【详解】，，又所以切线方程为，即。【点睛】本题主要考查函数图像在某点处的切线方程求法。12.已知双曲线﹣=1的离心率为，则m=．参考答案：2或﹣5【考点】双曲线的简单性质．【分析】直接利用双曲线的方程，求出a，b，c利用离心率求解即可．【解答】解：双曲线﹣=1，当焦点在x轴时，a2=m+2，b2=m+1，可得c2=a2+b2=3+2m，∵双曲线﹣=1的离心率为，∴，当焦点在y轴时，a2=﹣m﹣1，b2=﹣m﹣2，可得c2=a2+b2=﹣3﹣2m，∵双曲线﹣=1的离心率为，∴，可得，即12+8m=7m+7，可得m=﹣5．故答案为：2或﹣5．13.在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，AB=4，AD=3，AA1=5，∠BAD=60°，则AC1的长为多少？参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】先利用余弦定理求AC，再利用侧棱垂直于底面，从而可求体对角线长．【解答】解：由题意，AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcos120°=32+42﹣2×3×4×cos120°=3因为AA1⊥底面ABCD，∴△ACC1是直角三角形，∴AC12=AC2+CC12=37+25=62∴AC1的长是．14.

在平面直角坐标系中，已知射线，过点作直线分别交射线、于点、，若，则直线的斜率为

.参考答案：－215.在空间直角坐标系中,点P的坐标为(1,),过点P作yOz平面的垂线PQ,则垂足Q的坐标是________________．参考答案：(0,)16.设函数y=f（x）的定义域为R，若对于给定的正数k，定义函数fk（x）=则当函数f（x）=，k=1时，定积分fk（x）dx的值为．参考答案：1+2ln2【考点】67：定积分．【分析】根据fk（x）的定义求出fk（x）的表达式，然后根据积分的运算法则即可得到结论．【解答】解：由定义可知当k=1时，f1（x）=，即f1（x）=，则定积分fk（x）dx==lnx|+x|=ln1﹣ln+2﹣1=1+2ln2，故答案为：1+2ln2．17.右侧三角形数阵为杨辉三角：按照右图排列的规律，第n行（）从左向右的第3个数为___________．

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；（2）求证：AC1∥平面CDB1；（3）求二面角B﹣DC﹣B1的余弦值．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．只要证明，即可证明AC⊥BC1．（2）设CB1∩C1B=E，则E（0，2，2），可得，即DE∥AC1，即可证明AC1∥平面CDB1．（3）设平面CDB1的一个法向量为=（x，y，z），则，可求得平面CDB1的一个法向量为．取平面CDB的一个法向量为，利用=即可得出．【解答】（1）证明：∵直三棱柱的底面三边长分别为3、4、5，∴AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．C（0，0，0），A（3，0，0），B（0，4，0），C1（0，0，4），D．∵，∴，即AC⊥BC1．（2）证明：设CB1∩C1B=E，则E（0，2，2），，∴，即DE∥AC1，∵DE?平面CDB1，AC1?平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．（3）解：=，设平面CDB1的一个法向量为=（x，y，z），则，则，可求得平面CDB1的一个法向量为=（4，﹣3，3）．取平面CDB的一个法向量为，则===．由图可知，二面角B﹣DC﹣B1的余弦值为．19.已知圆C1：x2+y2+6x﹣4=0，圆C2：x2+y2+6y﹣28=0．（1）求过这两个圆交点的直线方程；（2）求过这两个圆交点并且圆心在直线x﹣y﹣4=0上的圆的方程．参考答案：【考点】直线与圆的位置关系；圆的一般方程．【分析】（1）两圆相减，得到过这两个圆交点的直线方程．（2）两圆联立方程组，求出两点的交点A，B，从而得到AB的中垂线方程，进而能求出圆心C的坐标和圆半径，由此能求出所求圆的方程．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2+6x﹣4=0，圆C2：x2+y2+6y﹣28=0，∴两圆相减，得到过这两个圆交点的直线方程为：6x﹣6y+24=0，即x﹣y+4=0．（2）两圆交点为A，B，解方程组，得或，∴A（﹣1，3），B（﹣6，﹣2），∴AB的中垂线方程为x+y+3=0．由，解得x=，y=﹣，所求圆心C的坐标是（，﹣）．圆半径|CA|==，∴所求圆的方程为（x﹣）2+（y+）2=，即x2+y2﹣x+7y﹣32=0．20.（1）设，是两个非零向量，如果，且，求向量与的夹角大小；（2）用向量方法证明：已知四面体，若，，则.参考答案：解：（1）因为，所以，因为，所以，

………2分两式相减得，于是，将代回任一式得，

………6分设与的夹角为，则，所以与的夹角大小为.

………8分（2）因，所以，因，所以，

………12分于是，，所以，，

………14分即，所以，即.

………16分略21.已知椭圆，A(0，a)，B(－b，0)，且|AB|＝5，S△OAB＝6，直线l：x＝my＋n与椭圆C相交于C、D两点，P为椭圆的右顶点(P与C、D不重合)，PC⊥PD.（1）求椭圆C的方程；（2）试判断直线l与x轴是否交于定点，若是，求出该点坐标，若不是说明理由．参考答案：略22.已知动点P与平面上两定点连线的斜率的积为定值.（1）求点的轨迹方程；（2）已知定点E（-1，0），若直线与椭圆交于C、D两点．问：