2022四川省成都市都江堰第一中学高三数学理期末试卷含解析

2022四川省成都市都江堰第一中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设是等差数列的前项和，已知，则等于

A．13

B．35

C．49

D．63

参考答案：C在等差数列中，，选C.2.执行如图所示的程序框图，若输入三个数a=log36，b=log510，c=log714，则输出的结果为（）A．log36 B．log510 C．log714 D．log26参考答案：A【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是输出三个数中最大的数，利用对数的运算法则可得a=log36=1+log32，b=log510=log52+1，c=log714=1+log72，利用单调性可得log32＞log52＞log72＞0，即可得出．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是输出三个数中最大的数，∵a=log36=1+log32，b=log510=log52+1，c=log714=1+log72，log32＞log52＞log72＞0，∴a＞b＞c．即log36最大．故选：A．3.函数的图象大致是（

）参考答案：A略4.已知集合，，则A.[0,7)

B.[0,1)

C.[0,1]

D.[－1,1]参考答案：D5.已知等比数列的公比为正数，且，则=(

)A．

B．

C．

D．2参考答案：B6.如图，阴影部分的面积是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C由题意，结合图形，得到阴影部分的面积是=（3x﹣）|=；故选C．【考查方向】本题考查了利用定积分求封闭图形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．【易错点】定积分的几何意义，定积分的运算【解题思路】利用定积分的几何意义表示出阴影部分的面积，然后计算．7.已知函数，对任意的，，总有成立，则实数a的取值范围是（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】由已知可得在为增函数，分段函数两段均为单调递增，而且右段的最低点不低于左段的最高点，即可求解.【详解】∵对任意的，，总有成立，不妨设，∴函数在定义域上是增函数，∴，解得，故选：C.【点睛】本题考查分段函数的单调性，要注意分段函数各段单调性相同的区间合并的条件，属于基础题.8.已知全集，集合，，那么集合等于（

）A．

B．C．

D．参考答案：【标准答案】:D【试题分析】:，＝【高考考点】:集合【易错提醒】:补集求错【备考提示】:高考基本得分点9.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,则球的半径为

（）A． B． C． D．参考答案：C10.给定四条曲线：①，②，③，④.其中与直线仅有一个交点的曲线是

A．①②③

B．②③④

C．①②④

D．①③④参考答案：答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.幂函数在上增函数，则m=

参考答案：312.函数零点的个数为

.参考答案：413.如图，直线与相切于点，割线经过圆心，弦⊥于点，，，则

．参考答案：14.已知=（，），||=1，|+2|=2，则在方向上的投影为．参考答案：﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】运用向量模的公式和向量的平方即为模的平方，可得?，再由在方向上的投影为，计算即可得到所求．【解答】解：=（，），||=1，|+2|=2，可得||=1，|+2|2=4，即为2+4?+42=4，即有1+4?+4=4，?=﹣，可得在方向上的投影为=﹣．故答案为：﹣．15.在平面直角坐标系中，过定点的直线与曲线交于点，则

．参考答案：4因为相当于对函数的图象进行向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到，所以曲线的图象关于点成中心对称，可知是线段的中点，故．16.在△ABC中，∠A＝，BC＝3，，则∠B＝_________。参考答案：75°17.右图是北方某地区从2010年至2016年患“三高”（即高血压，高血糖，高血脂的统称）人数y（单位：千人）折线图，如图所示，则y关于t的线性回归方程是______________．（参考公式：，）参考答案：根据题意得，，，，，，所求回归方程为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.全国文明城市，简称文明城市，是指在全面建设小康社会中市民整体素质和城市文明程度较高的城市.全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号.为普及相关知识，争创全国文明城市，某市组织了文明城市知识竞赛，现随机抽取了甲、乙两个单位各5名职工的成绩（单位：分）如下表：

甲单位8788919193乙单位8589919293

（1）根据上表中的数据，分别求出甲、乙两个单位5名职工的成绩的平均数和方差，并比较哪个单位的职工对文明城市知识掌握得更好；（2）用简单随机抽样法从乙单位5名职工中抽取2人，求抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4的概率.参考答案：（1），，，，显然，可知，甲单位的成绩比乙单位稳定，即甲单位的职工比乙单位的职工对环保知识掌握得更好.（2）从乙单位5名职工中随机抽取2名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）为，，，，，，，，，，共10个.记“抽取的2名职工的成绩差的绝对值不小于4”为事件，则事件包含的基本事件为，，，，，共5个.由古典概型计算公式可知.19.等腰△ABC的底边，高CD=3，点E是线段BD上异于点B，D的动点．点F在BC边上，且EF⊥AB．现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE．（Ⅰ）证明EF⊥平面PAE；（Ⅱ）记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积，求V（x）的最值．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明EF⊥PE，而AB∩PE=E，EF⊥AB，即可证明EF⊥平面PAE；（Ⅱ）记BE=x，V（x）表示四棱锥P﹣ACFE的体积，求出底面面积，可得体积，即可求V（x）的最值．【解答】（Ⅰ）证明：∵EF⊥AB，∴∠BEF=∠PEF=90°，故EF⊥PE，而AB∩PE=E，所以EF⊥平面PAE．（Ⅱ）解：∵PE⊥AE，PE⊥EF，∴PE⊥平面ABC，即PE为四棱锥P﹣ACFE的高．由高线CD及EF⊥AB得EF∥CD，∴，由题意知∴=．而PE=EB=x，∴，∴当x=6时V（x）max=V（6）=．20.（本小题满分13分）已知函数，．（Ⅰ）若直线恰好为曲线的切线时，求实数的值；（Ⅱ）当，时（其中无理数），恒成立，试确定实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）.（Ⅱ）实数的取值范围是[．试题分析：（Ⅰ）切点处的导函数值，为切线的斜率.因此，设切点为，可得，即，由（1）解得或.分别代人（2）讨论得到.（Ⅱ）由得：

（4），（Ⅱ）由得：

（4），由知：在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以,的最小值为，所以不等式（4）可化为：； （8分）设，，，当，时，，所以；当，1）时，，所以；所以在上单调递减，在[1，]上单调递增,所以，又，，，又，所以，所以，，所以，当，时，恒成立时实数的取值范围是[． （13分）备注：解答题的其它解法可相应给分。考点：应用导数研究函数的单调性、最（极）值，转化与化归思想，导数的几何意义.21.如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PD=AD，∠DAB=60°，PD⊥底面ABCD．（1）求证AC⊥PB；（2）求PA与平面PBC所成角的正弦值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LX：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）要证AC⊥PB，可以通过证明AC⊥面PDB实现，而后者可由AC⊥BD，AC⊥PD证得．（2）求出A到平面PBC的距离为h（可以利用等体积法），再与PA作比值，即为PA与平面PBC所成角的正弦值．【解答】（1）证明∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴AC⊥PD，∵BD∩PD=D，∴AC⊥面PDB，∵PB?面PDB∴AC⊥PB．（2）解：设PD=AD=1，设A到平面PBC的距离为h，则由题意PA=PB=PC=，S△ABC==在等腰△PBC中，可求S△PBC==∴VA﹣PBC=VP﹣ABC，=，h=∴sinθ===【点评】本题考查空间直线和直线垂直的判定．线面角求解．考查空间想象、推理论证能力．22.已知F为抛物线的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．当直线与x轴垂直时，．(1)求抛物线C的方程；(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．参考答案：（1）因为，在抛物线方程中，令，可得.…2分于是当直线与轴垂直时，，解得.

………3分所以抛物线的方程为.

………………4分（2）因为抛物线的准线方程为，