2021-2022学年福建省漳州市和坑华侨中学高三数学文联考试题含解析

2021-2022学年福建省漳州市和坑华侨中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.“关注夕阳、爱老敬老”—某马拉松协会从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金.下表记录了第x年与捐赠的现金y(万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y关于x的线性回归方程，则预测2019年捐赠的现金大约是(

)34562.5344.5

A.5万元 B.5.2万元 C.5.25万元 D.5.5万元参考答案：C【分析】由已知求出，代入回归直线的方程，求得，然后取，求得的值，即可得到答案.【详解】由已知得，，所以样本点的中心点的坐标为，代入，得，即，所以，取，得，预测2019年捐赠的现金大约是万元.【点睛】本题主要考查了线性回归方程以及应用，其中解答中熟记回归直线的方程经过样本中心点是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.3.在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是（）A．（4，10] B．（2，+∞） C．（2，4] D．（4，+∞）参考答案：A【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：设输入x=a，第一次执行循环体后，x=3a﹣2，i=1，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，x=9a﹣8，i=2，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，x=27a﹣26，i=3，满足退出循环的条件；故9a﹣8≤82，且27a﹣26＞82，解得：a∈（4，10]，故选：A4.设随机变量服从正态分布N(3,4)，若，则a=

A．4

B.3

C.2

D.1参考答案：C略5.对于命题：双曲线的离心率为；命题：椭圆的离心率为，则是的（

）（A）充要条件

（B）充分不必要条件

（C）必要不充分条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：C略6.已知函数，则A.函数在（-∞，0）上递减

B.函数在（-∞，0）上递增C.函数在R上递减

D.函数在R上递增参考答案：B略7.设变量x，y满足约束条件

,则目标函数z＝2x+y的最大值为（

）A．8

B．13

C．14

D．10参考答案：C略8.参考答案：A略9.函数的部分图像大致为（

）

参考答案：C10.将一根长为3m的木棒随机折成三段，折成的这三段木棒能够围成三角形的概率是（

）（A） （B）

（C）

（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.

参考答案：略12.数列是公比为的等比数列，是首项为12的等差数列．现已知a9＞b9且a10＞b10，则以下结论中一定成立的是

▲

．（请填写所有正确选项的序号）①；②；③；④．参考答案：①③略13.设随机变量服从正态分布，若，则的值为

．参考答案：因为，所以得14.已知，，则的值为________．参考答案：略15.已知双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，可得一条渐近线的斜率为1，即b=a，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，∴一条渐近线的斜率为1，即b=a，∴c=a，∴e==，故答案为．16.若函数为奇函数，则______________.参考答案：-1517.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形。∠ACB=900，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为___________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线L的方程，并证明：除点A外，曲线y=f（x）都在直线L的下方；（2）若函数h（x）=ex+f（x）在区间（1，3）上有零点，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程，根据函数的单调性判断即可；（2）问题转化为a=在x∈（1，3）上有实数根，设F（x）=，根据函数的单调性求出F（x）的最大值和最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=﹣a，∴f′（1）=1﹣a，∵f（1）=﹣a，∴L的方程是：y+a=（1﹣a）（x﹣1），即y=（1﹣a）x﹣1，设p（x）=f（x）﹣（1﹣a）x+1=lnx﹣x+1，则p′（x）=，若x＞1，p′（x）＜0，若0＜x＜1，p′（x）＞0，故p（x）max=p（1）=0，p（x）≤0，∴f（x）≤（1﹣a）x﹣1，当且仅当x=1时“=”成立，故除点A外，切线y=f（x）都在直线L的下方；（2）h（x）=ex+f（x）在区间（1，3）上有零点，即a=在x∈（1，3）上有实数根，设F（x）=，则F′（x）=，设g（x）=ex（x﹣1）+1﹣lnx，则g′（x）=x（ex﹣），而y=ex﹣（x＞0）的零点在（0，1）上，且y＞0在（1，3）恒成立，∴g′（x）＞0，即g（x）在（1，3）上都在，∴g（x）＞g（1）=1，则F′（x）＞0在（1，3）上恒成立，∴F（x）在（1，3）上递增，故F（x）min=F（1）=e，F（x）max=F（3）=，∴F（x）∈（e，），故a∈（e，）．19.（12分）如图所示，ABC—A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点.

（1）求证：平面AB1D⊥平面ABB1A1；

（2）求点C到平面AB1D的距离；

（3）求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小

参考答案：解析：（1）证明：取AB1的中点E，AB的中点F，连结DE、CF，由题意知B1D=AD，故DE⊥AB1，又CF⊥AB，CF//DE，故DE⊥AB

∴DE⊥平面ABB1A1，又DE平面AB1D，所以平面AB1D⊥ABB1A1.……（4分）

（2）建立如下图所示坐标系，则各点的坐标依次为：

，C（0，a，0）

D（0，a，），B1（0，0，a）设为平面AB1D一个法向量，所以即为所求的点到平面的距离.………………（8分）

（3）显然平面ABC的一个法向量为（0，0，1），

则

即所求二面角的大小为.………………（12分）另解：（2）由（1）知CF//DE，DE平面AB1D，

∴CF//平面AB1D∴点C到平面AB1D的距离与点F到平面AB1D的距离相等过F作FG⊥AB1，垂足为G，则FG⊥平面AB1D.连结BE，则FG//BE，且FG=∴FG=a

即点C到平面AB1D的距离为a

（3）由S△ACF=S△ADE·cosα

20.已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣a|（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）若f（x）的最大值为6，求a的值．参考答案：【考点】函数的最值及其几何意义；绝对值不等式的解法．【专题】计算题；函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）当a=1时，化简函数的解析式，去掉绝对值符号，即可求不等式f（x）＜1的解集；（Ⅱ）利用绝对值三角不等式推出f（x）的最大值为6的方程，即可求a的值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|当x＜﹣1时，f（x）=﹣x﹣1+x﹣1=﹣2＜1恒成立当﹣1≤x≤1，f（x）=x+1+x﹣1=2x＜1，当x＞1，f（x）=x+1﹣x+1=2＜1，无解不等式f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|＜1的解集是…（Ⅱ）f（x）=|x+1|﹣|x﹣a|≤|（x+1）﹣（x﹣a）|=|1+a|则|1+a|=6，所以a=5或a=﹣7…【点评】本题考查函数的最值的求法，绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力．21.已知椭圆:的左右焦点分别为，，左顶点为，点在椭圆上，且△的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过原点且与轴不重合的直线交椭圆于，两点，直线分别与轴交于点．求证：以为直径的圆恒过焦点，，并求出△面积的取值范围．参考答案：（Ⅰ），，………………2分

又点在椭圆上，，，解得，或（舍去），又，，所以椭圆的方程为；………5分

（Ⅱ），，，方法一：当直线的斜率不存在时，，为短轴的两个端点，则，，，，则以为直径的圆恒过焦点，，……7分

当的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，设点（不妨设），则点，由，消去得，所以，，所以直线的方程为，因为直线与轴交于点，令得，即点，同理可得点，，，，同理，则以为直径的圆恒过焦点，，………12分当的斜率存在且不为零时，，△面积为，又当直线的斜率不存在时，，△面积为，△面积的取值范围是．………15分方法二：当，不为短轴的两个端点时，设，则，由点在椭圆上，，所以直线的方程为，令得，即点，同理可得点，以为直径的圆可化为，代入，化简得，令解得以为直径的圆恒过焦点，，………12分，又，,△面积为，当，为短轴的两个端点时，，△面积为，△面积的取值范围是．………15分22.(本小题满分13分)已知抛物线的顶点是椭圆的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.（Ⅰ）求抛物线的方程;（Ⅱ）已知动直线过点,交抛物线于、两点.若直线的斜率为1,求的长;是否存在垂直于轴的直线被以为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出的方程；如果不存在，说明理由.参考答案：解:（Ⅰ）由题意,可设抛物线方程为.

…………1分由,得.抛物线的焦点为错误！不能通过编辑域代码创建对象。,错误！不能通过编辑域代码创建对象。.抛物线D的方程为.

…………3分（Ⅱ）设,.直线的方程为：,

…………4分联立,整理