2021-2022学年福建省泉州市成功中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年福建省泉州市成功中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的5、抛物线的焦点到直线的距离是（

）（A）

（B）（C）

（D）参考答案：D2.若，则“”是的“”（

）A．必要不充分条件

B．充分不必要条件

C．充要条件

D．既非充分又非必要条件参考答案：A3.已知数列满足：，若数列的最小项为1，则m的值为A． B． C． D．参考答案：B4.已知直线过抛物线的焦点，且与的对称轴垂直，与交于、两点，，为的准线上一点，则△的面积为（

）A．18

B．24

C．36

D．48参考答案：C设抛物线的方程为（），由，得，，所以的准线为，因此△的面积为，故选择C。【点评】本题主要考察抛物线的标准方程及简单几何性质，解决本题的关键是要清楚△的高即为动点P到直线AB的距离，根据抛物线的性质，知点P到直线AB的距离恒等于。5.的二项展开式的第三项为，则关于的函数图像大致形状为（

）参考答案：D略6.A．

B．

C．

D．参考答案：C7.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②④参考答案：D【考点】简单空间图形的三视图．【专题】阅读型．【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，所以，正确答案为D．故选D【点评】本题是基础题，考查几何体的三视图的识别能力，作图能力，三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．8.已知集合且={直线}，={平面}，，若，有四个命题①②③④其中所有正确命题的序号是（）A．①②③

B．②③④

C．②④

D．④参考答案：D9.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．16 B．32 C．48 D．144参考答案：C【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】几何体为四棱锥，结合直观图判断相关几何量的数据，把数据代入棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图：其中BC=2，AD=6，AB=6，SA⊥平面ABCD，SA=6，∴几何体的体积V=××6×6=48．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答本题的关键．10.设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知命题，则p的否定为

．

参考答案：12.为虚数单位，设复数，在复平面内对应的点关于原点对称，若，则

.参考答案：13.已知函数f（x）满足f（x+1）=﹣x2﹣4x+l，函数g（x）=有两个零点，则m的取值范围为．参考答案：[﹣2，0）∪[4，+∞）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】利用函数的关系式求出函数的解析式，求出函数的最值，画出函数的图象，通过m与1比较，讨论函数的解得个数，求解即可．【解答】解：函数f（x）满足f（x+1）=﹣x2﹣4x+l，可得函数f（x）=﹣x2﹣2x+4，函数的最大值为：f（﹣1）=5，当f（x）=x时，x=1或﹣4，故函数y=f（x）与直线y=x的两个交点分别为（1，1）（﹣4，﹣4），当f（x）=4时，x=0或﹣2，由题意可知m≠1，当m＜1时，直线y=4与y=x（x＞m）有一个公共点，故直线y=4与y=f（x）（x≤m）有且只有一个公共点，故﹣2≤m＜0．当m＞1时，直线y=4与y=f（x）（x≤m）有2个公共点，故直线y=4与y=x（x＞m）无公共点，故m≥4．综上，m的取值范围是：[﹣2，0）∪[4，+∞）．故答案为：[﹣2，0）∪[4，+∞）．【点评】本题考查函数的零点判定定理的应用考查数形结合以及分类讨论思想的应用．14.在边长为1的等边三角形中，

.参考答案：15.设3x﹣1，x，4x是等差数列{an}的前三项，则a4=．参考答案：【考点】等差数列的性质．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质列式求得x，进一步求出a3和d，则a4可求．【解答】解：∵3x﹣1，x，4x是等差数列{an}的前三项，∴3x﹣1+4x=2x，解得：x=，∴，d=3x=，∴．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是基础的计算题．16.若等比数列{an}的前n项和为Sn，且，则=． 参考答案：【考点】等比数列的前n项和． 【专题】方程思想；整体思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】由题意和等比数列的性质可得S4=5S2且S6=21S2，代入化简可得． 【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，且， ∴S4=5S2，又S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列， ∴（S4﹣S2）2=S2（S6﹣S4）， ∴（5S2﹣S2）2=S2（S6﹣5S2）， 解得S6=21S2， ∴==． 故答案为：． 【点评】本题考查等比数列的求和公式和等比数列的性质，用S2表示S4和S6是解决问题的关键，属中档题． 17.已知经过抛物线的焦点F的直线与该抛物线相交于A，B两点，且，若直线AB被圆所截得的弦长为4，则p= ．参考答案：或.

抛物线的焦点，设直线方程为，代入有，设，其中，从而，①，②由可得，③联立①②③可得，于是直线方程为，即，从而圆心到直线的距离为，又圆的半径为，弦长为，从而有，解得或.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（1）令g（x）为f（x）的导函数，求g（x）单调区间；（2）已知函数f（x）在x=1处取得极大值，求实数a取值范围．参考答案：【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数g（x）的单调区间即可；（2）通过讨论a的范围，得到函数f（x）的单调区间，结合函数的极大值，求出a的范围即可．【解答】解：（1）由f′（x）=lnx﹣2ax+2a，可得g（x）=lnx﹣2ax+2a，x∈（0，+∞），所以g′（x）=﹣2a=，当a≤0，x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；当a＞0，x∈（0，）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．所以当a≤0时，g（x）的单调增区间为（0，+∞）；当a＞0时，g（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）．（2）由（1）知，f′（1）=0．①当0＜a＜时，＞1，由（1）知f′（x）在（0，）内单调递增，可得当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，）时，f′（x）＞0．所以f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，）内单调递增，所以f（x）在x=1处取得极小值，不合题意．②当a=时，=1，f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意．③当a＞时，0＜＜1，当x∈（，1）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，④a≤0时，x∈（0，1）时，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在x=1处取极小值，不合题意；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．所以f（x）在x=1处取极大值，符合题意．综上可知，实数a的取值范围为（，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．19.已知直线l：ρsin(θ+)=m，曲线C：（1）当m=3时，判断直线l与曲线C的位置关系；（2）若曲线C上存在到直线l的距离等于的点，求实数m的范围．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）分别化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d与半径比较即可得出结论．（2）曲线C上存在到直线l的距离等于的点，可得圆心C（1，0）到直线l的距离d=≤r+，解出即可得出．【解答】解：（1）直线l：，展开可得：=m，化为直角坐标方程：y+x=m，m=3时，化为：y+x﹣3=0，曲线C：，利用平方关系化为：（x﹣1）2+y2=3．圆心C（1，0）到直线l的距离d===r，因此直线l与曲线C相切．（2）∵曲线C上存在到直线l的距离等于的点，∴圆心C（1，0）到直线l的距离d=≤+，解得﹣2≤m≤4．∴实数m的范围是[﹣2，4]．20.如图，抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为，圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为1的圆M与y轴相切．（Ⅰ）求抛物线E及圆M的方程；（Ⅱ）过P（1，0）作两条相互垂直的直线，与抛物线E相交于A，B两点，与圆M相交于C，D两点，N为线段CD的中点，当，求AB所在的直线方程．参考答案：【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为，圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为1的圆M与y轴相切，即可求抛物线E及圆M的方程；（Ⅱ）联立?x2﹣kx+k=0，又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交，可得k的范围，利用，求出k，即可求AB所在的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点为，∴p=，∴抛物线E：y=x2，…（3分）∵圆心M在射线y=2x（x≥0）上且半径为1的圆M与y轴相切，∴圆M的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；…（6分）（Ⅱ）设直线AB的斜率为k（k显然存在且不为零）联立?x2﹣kx+k=0…（8分）又与直线AB垂直的直线CD与圆M相交，则即，而k2﹣4k＞0，故.（其中d表示圆心M到直线AB的距离）=…（12分）又，所以，解得或（舍）所以AB所在的直线方程为：即．…（15分）【点评】本题考查抛物线E及圆M的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．21.（本小题满分12分）如图，在长方体中，，，为的中点，为的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值．参考答案：解：（1）以点为原点，分别以为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

………………1分依题意，可得

．………………3分，，∴

，即，∴．

………………6分

（2）设，且平面，则

，即，∴解得，取，