2021-2022学年湖南省益阳市南湾湖联校高三数学文期末试题含解析

2021-2022学年湖南省益阳市南湾湖联校高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.【题文】参考答案：B略2.设是等差数列的前项和，若，则A.

B.

C.

D.参考答案：A3.已知f（x）=，若函数f（x）有三个零点，则实数a的值是（）A．e B． C．﹣ D．﹣e参考答案：D【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断f（x）的奇偶性，根据f（x）的零点个数可知ex+ax=0在（0，+∞）上只有一解，即直线y=﹣ax与y=ex相切，根据导数的几何意义列方程组解出a即可．【解答】解：若x＞0，则f（﹣x）=ex+ax=f（x），同理，当x＜0时，f（﹣x）=f（x），∴f（x）是偶函数，又f（0）=0，∴x=0是f（x）的一个零点，∵f（x）有三个零点，∴f（x）在（0，+∞）上只有一个零点．当x＞0时，令f（x）=0得ex=﹣ax，∴直线y=﹣ax与y=ex相切．设切点坐标为（x0，y0），则，解得x0=1，a=﹣e．故选：D．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断与性质，函数零点的个数判定，导数的几何意义，属于中档题．4.已知为锐角，，，则的值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B5.设不等式组表示的平面区域为D.若圆经过区域D上的点，则r的取值范围是A. B.C. D.参考答案：B6.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点F且倾斜角为的直线与抛物线C相交于P，Q两点，则弦PQ的长为（）A．3 B．4 C．5 D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】直线PQ的方程是，把代入抛物线y2=4x消y得3x2﹣10x+3=0，利用弦长公式，即可得出结论．【解答】解：直线PQ的方程是，把代入抛物线y2=4x消y得3x2﹣10x+3=0，设Q（x1，y1），P（x2，y2），则，所以|PQ|=x1+x2+p==，故选D．【点评】本题考查直线与抛物线位置关系的运用，考查弦长公式，属于中档题．7.在正三棱锥ABC—A1B1C1中，已知M为底面内（含边界）一动点，且点M到三个侧面ABB1A1、BCC1B1、ACC1A1的距离成等差数列，则点M的轨迹是

（

）

A．一条线段

B．椭圆的一部分

C．双曲线的一部分

D．抛物线的一部分参考答案：A8.在由四条直线围成的区域内任取一点，这点没有落在和轴所围成区域内的概率是A．

B.

C.

D.

参考答案：A略9.已知双曲线（，）的一条渐近线的方程是，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知向量、满足，且，，则向量、的关系是（

）A.互相垂直 B.方向相同C.方向相反 D.成120°角参考答案：C【分析】设向量与的夹角为，根据平面向量数量积的运算求出的值，进而可得出结论.【详解】设向量与的夹角为，则，即，得，，.因此，向量、方向相反.故选：C.【点睛】本题考查两向量位置关系的判断，根据向量的数量积求出两向量的夹角是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.（1+）6的展开式中第4项的系数为

．参考答案：略12.已知函数且，其中为奇函数,为偶函数，若不等式对任意恒成立,则实数的取值范围是

.参考答案：13.如图，三个半径都是10cm的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同于水平面，则这个碗的半径R是

cm．参考答案：

【考点】球的体积和表面积．【分析】根据三个小球和碗的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到碗的半径．【解答】解：分别作出空间几何体的正视图和俯视图如图：则俯视图中，球心O（也是圆心O）是三个小球与半圆面的三个切点的中心，∵小球的半径为10cm，∴三个球心之间的长度为20cm，即OA=cm．，在正视图中，球心B，球心O（同时也是圆心O），和切点A构成直角三角形，则OA2+AB2=OB2，其中OB=R﹣10，AB=10，∴，即，∴，即R=10+=cm．故答案为：．【点评】本题主要考查了球的相切问题的计算，根据条件作出正视图和俯视图，确定球半径之间的关系是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．14.已知抛物线与圆有公共点，若抛物线在点处的切线与圆C也相切，则_________．参考答案：

15.．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0，S5=﹣5，数列{}的前2016项的和为．参考答案：﹣【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由S3=0，S5=﹣5，可得，解得：a1，d，可得an．再利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵S3=0，S5=﹣5，∴，解得：a1=1，d=﹣1．∴an=1﹣（n﹣1）=2﹣n．∴==，数列{}的前2016项的和=+…+==﹣．故答案为：﹣．16.在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。若直线l的倾斜角为60o.则△OAF的面积为

参考答案：17.在等差数列中，，则数列的前11项和S11等于

．参考答案：132

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知公差不为0的等差数列的前项和为，，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）试推导数列的前项和的表达式。参考答案：19.已知，，且直线与曲线相切．（1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；（2）（ⅰ）当时，求最大的正整数，使得任意个实数（是自然对数的底数）都有成立；（ⅱ）求证：．参考答案：（1）设点为直线与曲线的切点，则有．

（*），．

（**）

由（*）、（**）两式，解得，．

1分由整理，得，，要使不等式恒成立，必须恒成立．

2分设，，，当时，，则是增函数，，是增函数，，．因此，实数的取值范围是．

4分（2）当时，，，在上是增函数，在上的最大值为．要对内的任意个实数都有成立，必须使得不等式左边的最大值小于或等于右边的最小值，当时不等式左边取得最大值，时不等式右边取得最小值．，解得．因此，的最大值为．

8分（3）证明：当时，根据（1）的推导有，时，，即．令，得，

化简得，

．

13分20.如图，在三棱锥P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC，PA⊥PC．点E，F，O分别为线段PA，PB，AC的中点，点G是线段CO的中点．（1）求证：FG∥平面EBO；（2）求证：PA⊥BE．参考答案：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连AF交BE于Q，连QO．由线段长度间的关系证明FG∥QO，进而证得FG∥平面EBO．（2）先证明BO⊥面PAC，可得BO⊥PA．由OE∥PC，PC⊥PA可得OE⊥PA，从而证得PA⊥平面EBO，即可证出结论.【详解】（1）连AF交BE于Q，连QO．因为E、F、O分别为边PA、PB、PC的中点，所以＝2．又Q是△PAB的重心．于是＝2＝，所以FG∥QO．因为FG?平面EBO，QO?平面EBO，所以FG∥平面EBO．（2）由AB＝BC，得△ACB为等腰三角形，因为O为边AC的中点，所以BO⊥AC，因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO?平面ABC，所以BO⊥面PAC．因为PA?平面PAC，故BO⊥PA．在△PAC内，O，E为所在边的中点，故OE∥PC，且PA⊥PC，∴OE⊥PA，又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO，EB?平面EBO，所以PA⊥BE.【点睛】本题考查证明线线垂直，线面垂直，线面平行的判定定理，证明FG∥QO是线面平行的关键点，属于中档题．21.（本小题满分12分）已知a>3且a≠，命题p：指数函数f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的两个实根均大于3.若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．参考答案：若p真，则f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，∴0＜2a－6＜1，∴3＜a＜.…3分若q真，令f(x)＝x2－3ax＋2a2＋1，则应满足…………6分∴解得a＞，又a>3且a≠，∴a>3且a≠………………8分又由题意应有p真q假或p假q真．………………9分ks5u①若p真q假，则a无解．②若p假q真，则a>，…………11分∴a>.…………12分22.已知函数，，且在点处的切线方程为.(Ⅰ）求的值；(Ⅱ）若函数在区间内有且仅有一个极值点，求的取值范围；

(Ⅲ）设为两曲线，的交点，且两曲线在交点处的切线分别为.若取，试判断当直线与轴围成等腰三角形时值的个数并说明理由.参考答案：解：(Ⅰ），∴，又，∴．

…………………3分(Ⅱ）；∴由得，∴或．

…………………5分∵，当且仅当或时，函数在区间内有且仅有一个极值点．

…………………6分若，即，当时；当时，函数有极大值点，若，即时，当时；当时，函数有极大值点，综上，的取值范围是．

…………………8分(Ⅲ）当时，设两切线的倾斜角分别为，则，∵，∴均为锐角，

…………9分当，即时，若直线能与轴围成等腰三角形，