2021-2022学年湖南省永州市舂陵中学高三数学理联考试卷含解析

2021-2022学年湖南省永州市舂陵中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知集合等于A. B.C. D.参考答案：C2.已知函数（）的部分图像如图所示，则的图象可由的图象.向右平移个长度单位

.向左平移个长度单位.向右平移个长度单位

.向左平移个长度单位参考答案：A试题分析：根据题中所给的图像，可知，故选A.考点：函数图像的平移.3.若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则

（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A4.关于两条不同的直线、与两个不同的平面、,下列命题正确的是A．m//,n//且//,则m//n

B．m^,n^且^,则m//nC．m^,n//且//,则m^n

D．m//,n^且^,则m//n参考答案：C略5.焦点在x轴上的椭圆方程为+=1（a＞b＞0），短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】椭圆的简单性质．【分析】根据椭圆的性质AB=2c，AC=AB=a，OC=b，根据三角形面积相等求得a和c的关系，由e=，即可求得椭圆的离心率．【解答】解：由椭圆的性质可知：AB=2c，AC=AB=a，OC=b，SABC=AB?OC=?2c?b=bc，SABC=（a+a+2c）?r=?（2a+2c）×=，∴=bc，a=2c，由e==，故答案选：C．6.函数的示意图是（

）参考答案：C7.在中，，，已知点是内一点，则的最小值是（

）(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B8.（多选题）如图所示的曲线图是2020年1月25日至2020年2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例的曲线图，则下列判断正确的是（

）A.1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例中西安市占比超过了B.1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势C.2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了97例D.2月8日到2月10日西安市新冠肺炎累计确诊病例的增长率大于2月6日到2月8日的增长率参考答案：ABC【分析】根据曲线图可得ABC正确，2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，D说法不正确.【详解】1月31日陕西省新冠肺炎累计确诊病例共有87例，其中西安32例，所以西安所占比例为，故A正确；由曲线图可知，1月25日至2月12日陕西省及西安市新冠肺炎累计确诊病例都呈递增趋势，故B正确；2月2日后到2月10日陕西省新冠肺炎累计确诊病例增加了例，故C正确；2月8日到2月10日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，2月6日到2月8日西安新冠肺炎累计确诊病例增加了，显然，故D错误.故选：ABC【点睛】此题考查曲线图，根据图象特征判断选项说法是否正确，关键在于识图，弄清图中的数据变化.9.集合P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈R|x2≤9},则P∩M

=(

)A.{1,2}

B.{0,1,2}

C.{x|0≤x<3}

D.{x|0≤x≤3}参考答案：B10.已知函数f（x）=+b+6，其中，a，b为常数，a＞1，b≠0，若f（lglog210）=8，则f（lglg2）的值为(

) A．8 B．4 C．﹣8 D．﹣4参考答案：B考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=+b+6，可得f（x）+f（﹣x）=+b+6++b+6=12，再利用对数的运算性质即可得出．解答： 解：∵函数f（x）=+b+6，∴f（x）+f（﹣x）=+b+6++b+6=12，而lg（log210）+lg（lg2）==0，∴f（lglog210）+f（lglg2）=12，∴f（lglg2）=12﹣8=4．故选：B．点评：本题考查了指数函数与对数函数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f(x)=x的图象过点(4,2)，令，记数列的前n项和为，则=

参考答案：12.已知对于任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________.参考答案：13.已知α是锐角，且cos（α+）=，则cos（α﹣）=．参考答案：【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用诱导公式可求sin（α﹣）=，结合角的范围，利用同角三角函数基本关系式计算可解．【解答】解：∵cos（α+）=sin[﹣（α+）]=sin（α﹣）=，∵α是锐角，α﹣∈（﹣，），∴cos（α﹣）===．故答案为：．【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14.

．参考答案：15.从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示。（I）直方图中的值为

；（II）在这些用户中，用电量落在区间内的户数为

。参考答案：（I）0.0044（II）70略16.已知函数，若存在实数满足，，且，则_____________。参考答案：13【分析】作出函数的图象，将、、、转化为直线与曲线的四个交点的横坐标，利用进行去绝对值得出的值，由曲线的对称轴得出的值，再将两个数值相加可得出答案。【详解】作出函数的图象如下图所示：由于，则、、、可视为直线与曲线有四个交点时，四个公共点的横坐标。由图象可知，，由于，则，，所以，，即，得，由图象知，曲线的图象关于直线对称，所以，，因此，，故答案为：。【点睛】本题考查函数的零点问题，考查零点的积与和的问题，在求零点积的时候，充分利用绝对值与对数的运算法则，采用去绝对值的办法和对数的运算性质求解；在求零点和的时候，需要考查相应函数的对称性，借助对称性来解题。17.已知m>0,n>0,向量，且，则的最小值是

.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，圆的参数方程为为参数,,以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为若圆上的点到直线的最大距离为，求的值.参考答案：因为圆的参数方程为（为参数，），消去参数得，，所以圆心，半径为，……3分因为直线的极坐标方程为，化为普通方程为，………6分圆心到直线的距离为，……8分又因为圆上的点到直线的最大距离为3，即，所以．…10分略19.某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为海里，每小时的运输成本由燃料费和其它费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为，其余费用为每小时元．（）把全程运输成本（元）表示为速度（海里/小时）的函数．（）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？参考答案：见解析（）∵速度为海里/小时，航行时间为小时，总燃料费为元，其余费用为元，∴．（）∵，当且仅当时，等号成立，，即轮船以海里/小时速度行驶时，全程运输成本最小．20.（12分）已知椭圆C：+y2=1与x轴、y轴的正半轴分别相交于A、B两点．点M、N为椭圆C上相异的两点，其中点M在第一象限，且直线AM与直线BN的斜率互为相反数．（1）证明：直线MN的斜率为定值；（2）求△MBN面积的取值范围．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）设直线AM的方程为y=k（x﹣1），直线BN的方程为y=﹣kx+1，分别与椭圆C联立方程组，分别求出M点坐标、N点坐标，由此能求出直线MN的斜率．（2）设直线MN的方程为y=，（﹣1＜b＜1），记A，B到直线MN的距离分别为dA，dB，求出dA+dB=，联立方程组，得x2+2bx+2b2﹣2=0，由此利用韦达定理、弦长公式能求出S△MBN的取值范围．【解答】证明：（1）∵直线AM与直线BN的斜率互为相反数，∴设直线AM的方程为y=k（x﹣1），直线BN的方程为y=﹣kx+1，联立方程组，解得M点坐标为M（），联立方程组，解得N点坐标为N（），∴直线MN的斜率kMN==．解：（2）设直线MN的方程为y=，（﹣1＜b＜1），记A，B到直线MN的距离分别为dA，dB，则dA+dB=+=，联立方程组，得x2+2bx+2b2﹣2=0，∴，|MN|=|xM﹣xN|=，S△MBN=S△AMN+S△BMN=|MN|?dA+|MN|?dB=|MN|（dA+dB）=2，∵﹣1＜b＜1，∴S△MBN∈（2，2]．【点评】本题考查直线斜率为定值的证明，考查三角形面积的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、直线与椭圆位置关系、韦达定理、弦长公式的合理运用．21.在四棱锥P﹣ABCD中，PB⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=4，点E为PC的中点．（1）求证：CD⊥平面PBD；（2）若直线EB与平面ABCD所成角的正切值为，试求三棱锥P﹣ABD的外接球的体积．参考答案：【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取BC中点F，连接DF，在梯形ABCD中，可得CD==2，由BC2=BD2+CD2，得CD⊥BD，又PB⊥平面ABCD，得PB⊥CD，即可得CD⊥平面PBD；（Ⅱ）由直线EB与平面ABCD所成角的正切值，设三棱锥P﹣BAD的外接球半径为R，可得（2R）2=PB2+AB2+AD2，得R，利用球的体积公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）如图，取BC中点F，连接DF，在梯形ABCD中，∵AB=AD=2，BC=4，可得CD==2，则BC2=BD2+CD2，故CD⊥BD，又∵PB⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PB⊥CD，PB?面PBD，DB?面PBD，且PB∩BD=B，∴CD⊥平面PBD；（Ⅱ）如图，过D作DF⊥BC交BC于F，连接EF，则EF∥PB，EF⊥面ABCD∴∠EBC直线EB与平面ABCD所成角，∴tan∠EBC==，∵BF=2，∴EF=1，PB=2设三棱锥P﹣BAD的外接球半径为R，可得（2R）2=PB2+AB2+AD2，∴，V球=．22.一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示．(1)请画出该几何体的直观图，并求它的体积；(2)证明：A1C⊥平面AB1C1；(3)若D是棱CC1的中点，在棱AB上取中点E，判断DE是否平行于平面AB1C1，并证明你的结论．参考答案：(1)几何体的直观图如图．四边形BB1C1C是矩形，BB1＝CC1＝，BC＝1，四边形AA1C1C是边长为的正方形，且垂直于底面BB1C1C，∴其体积V＝×1××＝．(2)∵∠ACB＝90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥A1C.