2021-2022学年湖南省株洲市雷打石中学 高三数学文模拟试题含解析

2021-2022学年湖南省株洲市雷打石中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（

）

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：【知识点】三视图G2C解析：由题意可得，A是正方体，B是三棱柱，C是半个圆柱，D是圆柱，C不能满足正视图和侧视图是两个全等的正方形，故选C.【思路点拨】由三视图的基本概念即可判断.2.不等式|2x+3|＜1的解集为（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，+∞） C．（1，2） D．（﹣∞，1）∪（2，+∞）参考答案：A【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由不等式|2x+3|＜1可得﹣1＜2x+3＜1，由此解的不等式|2x+3|＜1的解集．【解答】解：由不等式|2x+3|＜1可得﹣1＜2x+3＜1，解得﹣2＜x＜﹣1，故解集为{x|﹣2＜x＜﹣1}，故选：A．3.如右图，I表示南北方向的公路，A地在公路的正东2km处，B地在A地北偏东6°方向处，河流沿岸PQ（曲线）上任一点到公路I和到A地距离相等，现要在河岸PQ上选一处M建一座码头，向A，B两地转运货物，经测算从M到A，B修建公路的费用均为a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（单位万元）

（

）

A．

B．

C．5a

D．4a参考答案：C略4.已知定义在上的函数满足，当时，且时，恒成立，则的最小值是A．

B．

C．

D．参考答案：D5.函数（）的图像关于点对称，则的增区间（

）A．

B．C．

D．参考答案：C6.一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则它在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为（

）A． B． C． D．参考答案：A满足条件的正三角形ABC如下图所示：其中正三角形ABC的面积S三角形=×16=4，满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于2的平面区域如图中阴影部分所示，则S阴影=2π，则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是：P=1﹣=1﹣π，故选：A．

7.函数的最小正周期是（）A． B． C．2π

D．4π参考答案：B8.已知实数x，y满足，则z=2x+y的最大值为(

) A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．4参考答案：D考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足条件的平面区域，将z=2x+y转化为：y=﹣2x+z，由图象得：y=﹣2x+z过（1，2）时，z最大，代入求出即可．解答： 解：画出满足条件的平面区域，如图示：，将z=2x+y转化为：y=﹣2x+z，由图象得：y=﹣2x+z过（1，2）时，z最大，Z最大值=4，故选：D．点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查了数形结合思想，是一道基础题．9.在等差数列中，有，则此数列的前13项之和为（

）A．

24

B．

39

C．

52

D．

104-参考答案：C10.曲线的长度为

(

）A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知椭圆C1：+=1（a＞0，b＞0），双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程x±y=0，则C1与C2的离心率之积为．参考答案：【考点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质．【分析】利用双曲线的渐近线推出a、b关系式，然后求解椭圆以及双曲线的离心率，即可得到结果．【解答】解：双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程x±y=0，可得：，即，∴双曲线的离心率为：e=，椭圆中，∴，可得椭圆的离心率为：e=，则C1与C2的离心率之积：=．故答案为：．12.已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B?A，则实数m=

．参考答案：1【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据题意，若B?A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．【解答】解：由B?A，m2≠﹣1，∴m2=2m﹣1．解得m=1．验证可得符合集合元素的互异性，此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B?A满足题意．故答案为：1【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．13.已知函数.对函数，定义关于的“对称函数”为，满足：对任意，两个点，关于点对称.若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是

.参考答案：14.如图是甲、乙两名篮球运动员2012年赛季每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和是．参考答案：54【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数．【分析】由茎叶图得到甲乙运动员的得分数据，由小到大排列后得到两组数据的中位数，则甲、乙两人比赛得分的中位数之和可求．【解答】解：由茎叶图得到甲运动员的得分数据为：17，22，28，34，35，36．由茎叶图得到乙运动员的得分数据为：12，16，21，23，29，31，32．由此可得甲运动员得分数据的中位数是．乙运动员得分数据的中位数是23．所以甲、乙两人比赛得分的中位数之和是54．故答案为54．15.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则俯视图的面积为

▲

cm2，该几何体的体积为

▲

cm3．参考答案：6，8； 16.若α∈（0，），且cos2α=sin（α+），则tanα=．参考答案：【考点】三角函数的化简求值；二倍角的余弦．【分析】根据三角函数的恒等变换，利用同角的三角函数关系，即可得出tanα的值．【解答】解：，且，∴cos2α﹣sin2α=sin（α+），∴（cosα+cosα）（cosα﹣sinα）=?（sinα+cosα），∴cosα﹣sinα=，两边平方，得sin2α﹣2sinαcosα+cos2α=，∴sinαcosα=，∴==，整理得3tan2α﹣10tanα+3=0，解得tanα=或tanα=3，cosα＞sinα，∴tanα＜1，∴tanα=．故答案为：．【点评】本题考查了三角函数的恒等变换以及同角的三角函数关系，是基础题．17.一个几何体的三视图如图所示（单位长度：），俯视图中圆与四边形相切，且该几何体的体积为，则该几何体的高为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线L的参数方程为（为参数）

，在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为.（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线L交于点A,B，若点P的坐标为（3，），求∣PA∣+∣PB∣.参考答案：解法二：19.（2017?长春三模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM﹣B的余弦值为．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD?平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE?平面ABE，AB?平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F（1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．20.已知函数．（I）求函数f（x）的周期和最小值；（II）在锐角△ABC中，若f（A）=1，，，求△ABC的面积．参考答案：考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：将函数解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，后两项提取，利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，（I）找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小值正周期；由正弦函数的值域即可求出函数的最小值；（II）由第一问确定的函数解析式及f（A）=1，得到关系式，根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，再利用平面向量的数量积运算法则化简而?=，得到||?||的值，再由sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：f（x）=2sinxcosx+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），（Ⅰ）∵ω=2，∴T==π；∵﹣1≤sin（2x+）≤1，即﹣2≤2sin（2x+）≤2，∴f（x）的最小值为﹣2；（Ⅱ）∵f（A）=2sin（2A+）=1，∴sin（2A+）=，∵0＜A＜π，∴2A+=，即A=，而?=||?||cosA=，∴||?||=2，则S△ABC=||?||sinA=．点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，正弦函数的定义域与值域，平面向量的数量积运算法则，以及三角形的面积公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．21.（本题14分）已知函数，其中（Ⅰ）若函数、存在相同的零点，求的值；（Ⅱ）若存在两个正整数、，当时，有与同时成立，求的最大值及取最大值时的取值范围.参考答案：（Ⅰ）=，，经检验上述的值均符合题意，所以的值为

……5分

（Ⅱ）令则，为正整数，，

……6分记，令的解集为，则由题意得区间.

……7分①当时，因为，故只能，即或，又因为，故，此时.又Z，所以.