2021-2022学年湖南省娄底市大江口中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021-2022学年湖南省娄底市大江口中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D2.函数是A．最小正周期为的奇函数

B．最小正周期为的奇函数C．最小正周期为的偶函数

D．最小正周期为的偶函数参考答案：C略3.在△ABC中，AB=AC=1，，则向量在方向上的投影为（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据余弦定理求出角A的大小，结合向量投影的定义进行求解即可．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC=1，BC=，∴cosA===﹣，∴A=120°，∴向量在方向上的投影为==﹣，故选：A．18.记椭圆围成的区域（含边界）为（n=1,2,…）.当点（x,y）分别在，，…上时，x+y的最大值分别是M1,M2,…，则=(

)（A）0

（B）

（C）2

（D）参考答案：D5.已知i为虚数单位，则=

A.1

B.i

C.－i

D.－1参考答案：C6.函数y＝(0<a<1)的图象的大致形状是()参考答案：D7.设2a=5b=m，且，则m=（）A． B．10 C．20 D．100参考答案：A【考点】指数式与对数式的互化；对数的运算性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】直接化简，用m代替方程中的a、b，然后求解即可．【解答】解：，∴m2=10，又∵m＞0，∴．故选A【点评】本题考查指数式和对数式的互化，对数的运算性质，是基础题．8.已知直线与平面，满足，，，，则必有（

）(A)且

（B）且

（C）且

（D）且参考答案：D9.设集合等于（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D略10.设是方程的解，则属于区间（

）

A.（0，1）

B.（1，2）

C.（2，3）

D.（3，4）参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知双曲线经过点，其一条渐近线方程为y=2x，则该双曲线的标准方程为．参考答案：﹣x2=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据题意，由双曲线的渐近线方程，可以设其方程为x2﹣=m，又由其过点，将点的坐标代入方程计算可得m的值，即可得其方程，最后将求得的方程化为标准方程即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=2x，则可以设其方程为x2﹣=m，（m≠0），又由其经过点，则有1﹣=m，解可得m=﹣1，则其方程为：x2﹣=﹣1，其标准方程为：﹣x2=1，故答案为：﹣x2=1．12.已知=，=，且与的夹角为锐角，则的取值范围是

．参考答案：且略13.将容量为的样本中的数据分成组，若第一组至第六组数据的频率之比为且前三组数据的频数之和等于，则的值为

.参考答案：根据已知条件知，所以14.已知函数f(x)=，若存在x∈N*使得f（x）≤2成立，则实数a的取值范围为

．参考答案：（﹣∞，﹣15]

【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】由题意可得3x2+（a﹣2）x+24≤0，即有2﹣a≥=3x+，运用基本不等式求得到成立的条件，再由x的范围，可得最小值，运用存在性问题的解法，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：f（x）≤2，即为≤2，由x∈N*，可得3x2+（a﹣2）x+24≤0，即有2﹣a≥=3x+，由3x+≥2=12，当且仅当x=2?N，由x=2可得6+12=18；x=3时，可得9+8=17，可得3x+的最小值为17，由存在x∈N*使得f（x）≤2成立，可得2﹣a≥17，解得a≤﹣15．故答案为：（﹣∞，﹣15]．15.已知，则=

▲

参考答案：

16.定义“正对数”：ln+x=，现有四个命题：①若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=bln+a②若a＞0，b＞0，则ln+（ab）=ln+a+ln+b③若a＞0，b＞0，则b④若a＞0，b＞0，则ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2其中的真命题有：．（写出所有真命题的编号）参考答案：①③④【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】对于①，由“正对数”的定义分别对a，b从0＜a＜1，b＞0；a≥1，b＞0两种情况进行推理；对于②，通过举反例说明错误；对于③④，分别从四种情况，即当0＜a＜1，b＞0时；当a≥1，0＜b＜1时；当0＜a＜1，b≥1时；当a≥1，b≥1时进行推理．【解答】解：对于①，当0＜a＜1，b＞0时，有0＜ab＜1，从而ln+（ab）=0，bln+a=b×0=0，∴ln+（ab）=bln+a；当a≥1，b＞0时，有ab＞1，从而ln+（ab）=lnab=blna，bln+a=blna，∴ln+（ab）=bln+a；∴当a＞0，b＞0时，ln+（ab）=bln+a，命题①正确；对于②，当a=时，满足a＞0，b＞0，而ln+（ab）=ln+=0，ln+a+ln+b=ln++ln+2=ln2，∴ln+（ab）≠ln+a+ln+b，命题②错误；对于③，由“正对数”的定义知，ln+x≥0且ln+x≥lnx．当0＜a＜1，0＜b＜1时，ln+a﹣ln+b=0﹣0=0，而ln+≥0，∴b．当a≥1，0＜b＜1时，有，ln+a﹣ln+b=ln+a﹣0=ln+a，而ln+=ln=lna﹣lnb，∵lnb＜0，∴b．当0＜a＜1，b≥1时，有0＜，ln+a﹣ln+b=0﹣ln+b=﹣ln+b，而ln+=0，∴b．当a≥1，b≥1时，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=ln，则b．∴当a＞0，b＞0时，b，命题③正确；对于④，由“正对数”的定义知，当x1≤x2时，有，当0＜a＜1，0＜b＜1时，有0＜a+b＜2，从而ln+（a+b）＜ln+2=ln2，ln+a+ln+b+ln2=0+0+ln2=ln2，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a≥1，0＜b＜1时，有a+b＞1，从而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+a）=ln2a，ln+a+ln+b+ln2=lna+0+ln2=ln2a，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当0＜a＜1，b≥1时，有a+b＞1，从而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+b）=ln2b，ln+a+ln+b+ln2=0+lnb+ln2=ln2b，∴ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．当a≥1，b≥1时，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），∵2ab﹣（a+b）=ab﹣a+ab﹣b=a（b﹣1）+b（a﹣1）≥0，∴2ab≥a+b，从而ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．命题④正确．∴正确的命题是①③④．故答案为：①③④．17.抛物线的顶点为，，过焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，则的面积是

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知正项数列{an}满足：，其中Sn为数列{an}的前n项和.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn.参考答案：（Ⅰ）令，得，且，解得.当时，，即，整理得，所以数列是首项为3，公差为2的等差数列，故.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，19.在△ABC中，，．（1）求；（2）若，求△ABC的周长．参考答案：（1）；（2）．（1）∵，∴，∴．（2）设的内角，，的对边分别为，，．∵，∴，∵，∴，．由余弦定理可得，则，的周长为．20.（本小题满分13分）已知椭圆的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且，的面积为1（其中为坐标原点）.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM，交椭圆于点，证明：为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.参考答案：(III)以为直径的圆恒过的交点,由，建立Q坐标的方程.(III)设.若以为直径的圆恒过的交点,则.由(2)可知:,,即恒成立,∴存在，使得以为直径的圆恒过直线、的交点.……………13分考点：椭圆的几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，平面向量的坐标运算.21.已知函数f（x）=|x﹣2|+2|x+1|．（1）解不等式f（x）＞4；（2）若关于x的不等式f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，去掉绝对值，从而解出不等式的解集；（2）画出函数f（x）的图象，通过图象读出即可．【解答】解：（1）当x＜﹣1时，﹣3x＞4，解得x＜﹣，∴x＜﹣，当﹣1≤x＜2时，x+4＞4，解得x＞0，∴0＜x＜2，当x≥2时，3x＞4，解得x＞，∴x≥2，综上，原不等式解集为{x|x＜﹣或x＞0}．

（2）由f（x）的图象和单调性易得f（x）min=f（﹣1）=3，若?x∈R，f（x）≥m恒成立，则只需f（x）min≥m?m≤3，故实数m的取值范围是（﹣∞，3]．22.已知函数f(x)＝(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数g(x)＝λf(x)＋sinx是区间[－1,1]上的减函数．(1)求a的值及的范围。(2)讨论关于x的方程＝x2－2ex＋m的根的个数．参考答案：解：(1)由于f(x)是在R上的奇函数，所以f(0)＝0，故a＝0.∵g(x)在[－1,1]上单调递减，∴x∈[－1,1]时，g′(x)＝λ＋cosx≤0恒成立∴λ≤－1，(2)由(1)知f(x)＝x，∴方程为