2021-2022学年湖北省黄冈市张榜中学高三数学理上学期期末试题含解析

2021-2022学年湖北省黄冈市张榜中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数的零点个数是

A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：C2.已知点的坐标满足条件则点到直线的距离的最小值为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.为参加CCTV举办的中国汉字听写大会，某中学矩形了一次大型选拔活动，统计了甲、乙两班各6名学生的汉字听写大赛的成绩，如图所示，设甲、乙两班数据的平均数依次为，标准差依次为，则（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：4.已知集合P={4，5，6}，Q={1，2，3}，定义P⊕Q={x|x=p﹣q，p∈P，q∈Q}，则集合P⊕Q的所有真子集的个数为（）A．32 B．31 C．30 D．以上都不对参考答案：B【考点】子集与真子集．【分析】由所定义的运算先求出P⊕Q，然后再求集合P⊕Q的所有真子集的个数．【解答】解：由所定义的运算可知P⊕Q={1，2，3，4，5}，∴P⊕Q的所有真子集的个数为25﹣1=31．故选B．5.（5分）（2015秋?太原期末）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，若f（α）=3，α∈（，），则sinα的值为（）A．B．C．D．参考答案：A【分析】根据函数的最值得到A，再由图象可得函数的周期，结合周期公式得到ω的值，再根据函数的最大值对应的x值，代入并解之得φ，从而得到函数的表达式，最后求得cos（α+）的值，利用两角差的正弦函数公式即可得解．【解答】解：∵函数f（x）的最大值为5，最小值为﹣5，∴A=5，又∵函数的周期T=2（）=2π，∴ω===1，∴函数图象经过点（，5），即：5sin（+φ）=5，∴解得：+φ=+2kπ，k∈Z，可得：φ=+2kπ，k∈Z，∵0＜φ＜π，∴取k=0，得φ=．∴函数的表达式为：f（x）=5sin（x+），∵f（α）=5sin（α+）=3，解得：sin（α+）=，又∵α∈（，），可得：α+∈（，π），∴cos（α+）=﹣=﹣，∴sinα=sin（α+﹣）=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin=×﹣（﹣）×=．故选：A．【点评】本题给出函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要我们确定其解析式并根据解析式求特殊的函数值，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质的知识，属于中档题．6.双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点,设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：B7.要得到函数y＝cos2x的图象，只需将函数y＝cos(2x－)的图象()A．向右平移个单位

B．向右平移个单位C．向左平移个单位

D．向左平移个单位参考答案：B8.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为（）

A．

B．1

C．

D．参考答案：D略9.关于直线a，b及平面α，β，下列命题中正确的是（）A．若a∥α，α∩β=b，则a∥b B．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥α，a∥β，则α⊥β D．若a∥α，b⊥a，则b⊥α参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由空间直线的位置关系能判断A的正误；由直线平行于平面的性质能判断B的正误；由直线与平面垂直的判断定理能判断C的正误；由直线与平面垂直的判定定理，能判断D的正误．【解答】解：A是错误的，∵a不一定在平面β内，∴a，b有可能是异面直线；B是错误的，∵平行于同一个平面的两条直线的位置关系不确定，∴a，b也有可能相交或异面；C是正确的，由直线与平面垂直的判断定理能得到C正确；D是错误的，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．故选：C．【点评】本题考查直线与平面的位置关系的确定，是基础题，解题时要注意空间思维能力的培养．10.将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则

(

)

A.n=0

B.n=1

C.n=2

D.n=4参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知是定义在上的奇函数.当时,,则不等式的解集用区间表示为___________.

参考答案：略12.若曲线存在平行于直线的切线，则a的取值范围为_________．参考答案：【分析】首先根据题意，知切点位置不确定，故需根据切点位置进行讨论。当切点不在直线上时，利用导数的几何意义，设出切点，求得切线斜率，建立等式，由判别式大于等于零，求得的取值范围；当切点在直线上时，由切点既在直线上又在曲线上，列出方程可以求出切点坐标，再检验是否符合题意，综上即可求出的取值范围。【详解】（1）设平行于直线的切线的切点为，，解得；（2）若切点在直线上，则，又，从而，解得或.当时，，此时方程有两个相等的实根，曲线不存在平行于直线的切线；当时，，此时方程有两个不等的实根，曲线仅存在一条平行于直线的切线.综上，的取值范围为。【点睛】本题主要考查利用导数的几何意义求解和切线方程有关的问题以及分类讨论思想的应用。

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题。每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题。考生根据要求作答．13.已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4）…，则第60个数对是．参考答案：（5，7）【考点】数列的应用．【专题】规律型．【分析】把握数对的规律如下：①两个数之和为n的整数对共有n﹣1个，②在两个数之和为n的n﹣1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n﹣1起越来越小．【解答】解：规律是：①两个数之和为n的整数对共有n﹣1个，②在两个数之和为n的n﹣1个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由n﹣1起越来越小．设两个数之和为2的数对为第1组，数对个数为1；两个数之和为3的数对为第二组，数对个数2；…，两个数之和为n+1的数对为第n组，数对个数为n．又∵1+2+…+10=55，1+2+…+11=66∴第60个数对在第11组之中的第5个数，从而两数之和为12，应为（5，7）；故答案为（5，7）．【点评】本题主要考查数列知识的拓展及应用．14.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为

.参考答案：由且，即，由及正弦定理得：∴，故，∴，∴，∴，15.甲、乙、丙、丁四人商量去看电影．甲说：乙去我才去；乙说：丙去我才去；丙说：甲不去我就不去；丁说：乙不去我就不去．最后有人去看电影，有人没去看电影，去的人是

．参考答案：甲乙丙考点：进行简单的合情推理．专题：探究型；推理和证明．分析：由题意，丙去，则甲乙去，丁不去，即可得出结论．解答： 解：由题意，丙去，则甲乙去，丁不去，符合题意故答案为：甲乙丙．点评：本题考查进行简单的合情推理，比较基础．16.已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则命中率较高的为_______.参考答案：甲.【分析】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高【详解】甲运动员的命中个数集中在茎叶图的下方，而乙运动员的命中个数集中在茎叶图的上方．从数据的分布情况来看，甲运动员的罚球命中率较高．故答案为甲【点睛】画茎叶图时的注意事项（1）将每个数据分为茎（高位）和叶（低位）两部分，当数据是两位整数时，茎为十位上的数字，叶为个位上的数字；当数据是由整数部分和小数部分组成，可以把整数部分作为茎，把小数部分作为叶；（2）将茎上的数字按大小次序排成一列．（3）为了方便分析数据，通常将各数据的叶按大小次序写在其茎右（左）侧．（4）用茎叶图比较数据时，一般从数据分布的对称性、中位数，稳定性等方面来比较．17.幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣m在x∈（0，+∞）时为减函数，则m的值为．参考答案：2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的定义和单调性即可求出．【解答】解：∵幂函数y=（m2﹣m﹣1）x﹣m在x∈（0，+∞）时为减函数，∴m必满足，解得m=2，即y=x﹣2．故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.平面直角坐标系中，直线l的参数方程是（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．参考答案：【考点】点的极坐标和直角坐标的互化；两点间的距离公式．【分析】（1）将直线化成普通方程，可得它是经过原点且倾斜角为的直线，由此不难得到直线l的极坐标方程；（2）将直线l的极坐标方程代入曲线C极坐标方程，可得关于ρ的一元二次方程，然后可以用根与系数的关系结合配方法，可以得到AB的长度．【解答】解：（1）直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程得：y=x∴在平面直角坐标系中，直线l经过坐标原点，倾斜角是，因此，直线l的极坐标方程是θ=，（ρ∈R）；

…（2）把θ=代入曲线C的极坐标方程ρ2cos2θ+ρ2sin2θ﹣2ρsinθ﹣3=0，得ρ2﹣ρ﹣3=0∴由一元二次方程根与系数的关系，得ρ1+ρ2=，ρ1ρ2=﹣3，∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|==．

…19.（本小题满分12分）已知曲线C1:(e为自然对数的底数),曲线C2:y=2elnx和直线m:y=2x.

(I)求证:直线m与曲线C1、C2都相切,且切于同一点;

(II)设直线x=t(t>0)与曲线C1、C2及直线m分别交于M、N、P,记f(t)=|MP|-|PN|,求f(t)在[e-3,e3]上的最大值;参考答案：(I)对于曲线C1:设切点P(a,b),有，故切点为P(e,2e),切线:y-2e=2(x-e),即y=2x.所以直线m与曲线C1相切于点P(e,2e).

同理可证直线m与曲线C2也相切于点P(e,2e).

(II),

,在[e-3,e3]上单调增,

故ymax=f(e3)=e5-4e3+7e.略20.已知函数(1)当时,求函数的单调增区间；(2)求函数在区间上的最小值；(3)在(Ⅰ)的条件下，设,证明：.参考数据：.参考答案：解.(Ⅰ)当时，，或。函数的单调增区间为(Ⅱ)，当，单调增。当，单调减.单调增。当，单调减，略21.变换是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是；变换对应用的变换矩阵是。（1）求点在作用下的点的坐标；（2）求函数的图象依次在，变换的作用下所得曲线的方程.参考答案：（1），所以点在作用下的点的坐标是…………5分（2），设是变换后图像上任一点，与之对应的变换前的点是，则，也就是，即，所以，所求曲线的方程是.…………10分22.（本小题满分12分）已知数列的前n项和为，且．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，数列的前n项和为，求使不等式成立的正整数n的最小值．参考答案：解析：（Ⅰ）当时，，解得；当时