高中数学苏教版3第二章概率

学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．设随机变量ξ的概率分布为ξ－10123Peq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(1,10)eq\f(1,5)eq\f(2,5)则P(ξ＜3)＝________.【解析】P(ξ＜3)＝1－P(ξ≥3)＝1－P(ξ＝3)＝1－eq\f(2,5)＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(3,5)2．设随机变量ξ的概率分布P(ξ＝i)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))i，i＝1,2,3，则a＝________.【解析】由P(ξ＝i)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))i，i＝1,2,3，得P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，∴aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)＋\f(1,9)＋\f(1,27)))＝1，∴a＝eq\f(27,13).【答案】eq\f(27,13)3．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为，则他罚球一次得分的概率分布为________．【答案】ξ01P4.(2023·苏州高二检测)对一批产品逐个进行检测，第一次检测到次品前已检测的产品个数为ξ，则ξ＝k表示的试验结果为________．【答案】前k次检测到正品，而第k＋1次检测到次品5．随机变量ξ的等可能取值为1,2，…，n，若P(ξ＜4)＝，则n＝________.【解析】∵ξ等可能取值为1,2，…，n.∴P(ξ＜4)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＋eq\f(1,n)＝，∴n＝10.【答案】106．若随机变量X～0­1分布，P(X＝0)＝a，P(X＝1)＝eq\f(3,2)a，则a＝________.【导学号：29440036】【解析】∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋\f(3,2)a＝1，,0≤a≤1，,0≤\f(3,2)a≤1，))解得a＝eq\f(2,5).【答案】eq\f(2,5)7．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝n)＝eq\f(a,nn＋1)，n＝1,2,3,4，其中a是常数，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))的值为________．【解析】∵P(ξ＝n)＝eq\f(a,nn＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))a，∴eq\i\su(i＝1,4,P)(ξ＝i)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5)))a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,5)))a＝eq\f(4,5)a＝1，∴a＝eq\f(5,4).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(5,2)))＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(5,6).【答案】eq\f(5,6)8．某篮球运动员在一次投篮训练中的得分X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且c＝ab，X023Pabc则这名运动员得3分的概率是________．【解析】由题中条件，知2b＝a＋c，c＝ab，再由分布列的性质，知a＋b＋c＝1，且a，b，c都是非负数，由三个方程联立成方程组，可解得a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,6)，所以得3分的概率是eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)二、解答题9．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数为X；(2)从4张已编号(1～4号)的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和为X.【解】(1)X可取0,1,2,＝i表示取出i支白粉笔，(3－i)支红粉笔，其中i＝0,1,2,3.(2)X可取3,4,5,6,＝3表示取出分别标有1,2的两张卡片；X＝4表示取出分别标有1,3的两张卡片；X＝5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片；X＝6表示取出分别标有2,4的两张卡片；X＝7表示取出分别标有3,4的两张卡片．10．已知随机变量ξ的概率分布为ξ－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)(1)求η1＝eq\f(1,2)ξ的概率分布；(2)求η2＝ξ2的概率分布．【解】(1)η1＝eq\f(1,2)ξ的概率分布为η1－1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)(2)η2＝ξ2的概率分布为η20149Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)能力提升]1．若随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝.令Y＝3X－2，则P(Y＝－2)＝________.【导学号：29440037】【解析】由Y＝－2，得3X－2＝－2，X＝0.∴P(Y＝－2)＝P(X＝0)＝.【答案】2．设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝eq\f(c,kk＋1)，k＝1,2,3，c为常数，则P＜X＜＝________.【解析】∵ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1×2)＋\f(1,2×3)＋\f(1,3×4)))＝1，∴c＝eq\f(4,3)，∴P＜X＜＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(2,3)＋eq\f(2,9)＝eq\f(8,9).【答案】eq\f(8,9)3．已知随机变量ξ只能取三个值x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则该等差数列公差的取值范围是________．【解析】设随机变量ξ取x1，x2，x3的概率分别为a－d，a，a＋d，则由分布列的性质得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝eq\f(1,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))解得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))4．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝eq\f(i,10)，i＝1,2,3,4，求：(1)P(ξ＝1或ξ＝2)；(2)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(7,2))).【解】(1)∵P(ξ＝1)＝eq\f(1,10)，P(ξ＝2)＝eq\f(2,10)，∴P(ξ＝1或ξ＝2)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝eq\f(1,10)＋eq\f(2,10)＝eq\f(3,1