2021-2022学年河南省开封市世纪中学高三数学文下学期期末试卷含解析

2021-2022学年河南省开封市世纪中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为()A.

B.

C.

D.参考答案：C2.已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A

3.若= （

）A．1 B．—1 C．2 D．—2参考答案：A4.已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元，某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如表所示：型号小包装大包装重量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.00元8.4元则下列说法正确的是(

)①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A．①② B．①④ C．②③ D．②④参考答案：D【考点】根据实际问题选择函数类型；归纳推理．【专题】阅读型；转化法；函数的性质及应用．【分析】分别求出大包装和小包装每100克的价格进行比较，以及卖1大包和3小包的盈利即可得到结论．【解答】解：大包装300克8.4元，则等价为100克2.8元，小包装100克3元，则买大包装实惠，故②正确，卖1大包装盈利8.4﹣0.7﹣1.8×3=2.3元，卖1小包装盈利3﹣0.5﹣1.8=0.7，则卖3小包盈利0.7×3=2.1元，则卖1大包比卖3小包盈利多．故④正确，故选：D【点评】本题主要考查函数模型的应用，比较基础．5.已知函数f（x）=﹣x2﹣6x﹣3，g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，m＜﹣2，若?x1∈[m，﹣2），?x2∈（0，+∞），使得f（x1）=g（x2）成立，则m的最小值为（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣2 D．﹣3参考答案：A【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】利用导数先求出函数g（x）的最小值，再根据函数f（x）的图象和性质，即可求出m的最小值【解答】解：∵g（x）=2x3+3x2﹣12x+9，∴g′（x）=6x2+6x﹣12=6（x+2）（x﹣1），则当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数g（x）递减，当x＞1时，g′（x）＞0，函数g（x）递增，∴g（x）min=g（1）=2，∵f（x）=﹣x2﹣6x﹣3=﹣（x+3）2+6≤6，作函数y=f（x）的图象，如图所示，当f（x）=2时，方程两根分别为﹣5和﹣1，则m的最小值为﹣5，故选：A6.若曲线与曲线有四个不同的交点,则实数的取值范围是A．

B．C．

D．参考答案：C7.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），点M，N，F分别为椭圆C的左顶点、上顶点、左焦点，若∠MFN=∠NMF+90°，则椭圆C的离心率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意画出图形，结合已知可得a，b，c的关系，进一步结合隐含条件可得关于离心率e的方程求解．【解答】解：如图，tan∠NMF=，tan∠NFO=，∵∠MFN=∠NMF+90°，∴∠NFO=180°﹣MFN=90°﹣∠NMF，即tan∠NFO=，∴，则b2=a2﹣c2=ac，∴e2+e﹣1=0，得e=．故选：A．8.两游客坐火车旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图，则下列座位号码符合要求的是(

)

A.48,49

B.62,63

C.75,76

D.84,85

窗口12过道345窗口67891011121314151617………

参考答案：答案:D9.已知为虚数单位，为实数，复数在复平面内对应的点为，则“”是“点在第四象限”的

（

）

A．充要条件

B．必要而不充分条件C．充分而不必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：C10.某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则几何体的体积是（）A.cm3

B.cm3C.cm3

D.cm3参考答案：A根据该几何体的三视图画出其空间几何体如图所示：其中，，，中边上的高为1，所以该几何体的体积为。二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，且bc=4，则△ABC的面积为．参考答案：【考点】正弦定理；三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；分析法；三角函数的求值；解三角形．【分析】利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转换成边的关系，代入余弦定理中求得cosB的值，进而求得sinB，结合bc=4，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：∵asinA=bsinB+（c﹣b）sinC，∴由正弦定理得a2=b2+c2﹣bc，即：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB，∴cosA===，A=60°．可得：sinA=，∵bc=4，∴S△ABC=bcsinA==．故答案为：【点评】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．12.定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，如是上的平均值函数，0就是它的均值点.现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是

.参考答案：因为函数是上的平均值函数，所以，即关于的方程，在内有实数根，即，若，方程无解，所以，解得方程的根为或.所以必有，即，所以实数的取值范围是，即.13.某工厂生产的、、三种不同型号的产品数量之比依次为,为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的、、三种产品中抽出样本容量为的样本，若样本中型产品有件，则的值为

．参考答案：试题分析：因,故,应填.考点：分层抽样的方法和计算．14.在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=．参考答案：1【考点】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==∴sinC=，sinA=，∴==1．故答案为：1．15.不等式的解为

。参考答案：或本题考查分式不等式的求解，难度中等.因为，解得.16.设圆锥的母线长为l,底面半径为r,满足条件“它的一个内接圆柱的侧面积等于圆锥侧面积的”的情况有且只有一种,则

．参考答案：17.在△ABC中，O为中线AM上一个动点，若AM=2，则的最小值是

．参考答案：﹣2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量的运算法则：平行四边形法则作出，判断出共线，得到的夹角，利用向量的数量积公式将转化成二次函数求出最小值，【解答】解：以OB和OC做平行四边形OBNC．则因为M为BC的中点所以且反向∴=，设OA=x，（0≤x≤2）OM=2﹣x，ON=4﹣2x∴=2x2﹣4x（0≤x≤2）其对称轴x=1所以当x=1时有最小值﹣2故答案为﹣2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，（Ⅰ）当时，解不等式；(Ⅱ)若不等式有解，求实数的取值范围．参考答案：（Ⅰ）(2)19.已知椭圆的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，定点，P（2，），点F2在线段PF1的中垂线上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M、F2N的倾斜角分别为α、β且α+β=π，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由椭圆的离心率求得a=c，且丨F1F2丨=丨PF2丨，利用勾股定理即可求得c及a和b的值；（Ⅱ）将直线代入椭圆方程，利用直线的斜率公式求得=，=，由+=0，结合韦达定理，即可求得m=﹣2k．则直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆C的离心率e==，则a=c，椭圆C的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），又点F2在线段PF1的中垂线上∴丨F1F2丨=丨PF2丨，∴（2c）2=（）2+（2﹣c）2，解得：c=1，则a=，b2=a2﹣c2=1，∴椭圆的方程为；（Ⅱ）证明：由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为y=kx+m由消去y，得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2=0．设M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，且=，=由已知α+β=π，得+=0，即+=0，化简，得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0，∴2k×﹣（m﹣k）（）﹣2m．整理得m=﹣2k．∴直线MN的方程为y=k（x﹣2），∴直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0）．20.（本小题满分13分）某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且L≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元．设该容器的建造费用为y千元．(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.参考答案：∴0<r≤2.

由于c>3，所以c－2>0.所以r＝2是函数y的最小值点．………13分21.已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）直线l：y=k（x+2）交椭圆于P、Q两点，若点B始终在以PQ为直径的圆内，求实数k的取值范围．参考答案：解：由题意知，解得，椭圆的标准方程为：．…（4分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，消去y，得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0…（6分）依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，所以x1=﹣2，y1=0，﹣﹣﹣﹣①，由方程的根与系数关系可得，x1+x2=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②，可得y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=k（x1+x2）+4k﹣﹣﹣﹣③，…（8分）由①②③，，

…（10分）由点B在以PQ为直径的圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即．=（﹣2，﹣1），=（x2，y2﹣1）∴=﹣2x2﹣y2+1＜0．…（12分）即，整理可得，20k2﹣4k﹣3＜0解得：k．…（14分）考点： 直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： （Ⅰ）由题意知，解方程可求a，b进而可求方程；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，可得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0，由直线y=k（x+2）恒过点椭圆的左顶点（﹣2，0），可求x1，y1，由方程的根与系数关系可得，x1+x2，y1+y2，由已知可得，，根据向量的数量积的坐标表示可得关于k的不等式，求解即可．解答： 解：由题意知，解得，椭圆的标准方程为：．…（4分）（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）联立，消去y，得：（1+4k2）x2+16k2x+（16k2﹣4）=0…（6分）依题意：直线l：y=k（x+2）恒过点（﹣2，0），此点为椭圆的左顶点，所以x1=﹣2，y1=0，﹣﹣﹣﹣①，由方程的根与系数关系可得，x1+x2=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣②，可得y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=k（x1+x2）+4k﹣﹣﹣﹣③，…（8分）由①②③，，

…（10分）由点B在以PQ为直径的圆内，得∠PBQ为钝角或平角，即．=（﹣2，﹣1），=（x2，y2﹣1）∴=﹣2x2﹣y2+1＜0．…（12分）即，整理可得，20k2﹣4k﹣3＜0解得：k．…（14分）点评： 本题主要考查了椭圆的性质在求解方程中的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，试题对考试的逻辑思维能力及计算能力的要求较高22.设函数f（x）=+ax，a∈R．（Ⅰ）若f（x）在区间上存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）当﹣4＜a＜0时，f（x）在区间[0，3]上的最大值为15，求f（x）在[0，3]上的最小值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出导函数，利用f（x）在区间上存在单调递减区间，转化为导函数f′（x）=x2+2x+a在上存在函数值小于零的区间，列出不等式求解a的范围即可．（Ⅱ）判断导函数的开口方向，对称轴，利用函数f（x）的上单调性，求出a，然后求解最小值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=+ax，a∈R．可得f′（x）=x2+2x+a．由条件f（x）