2021-2022学年江西省吉安市高陂中学高三数学理下学期期末试卷含解析

2021-2022学年江西省吉安市高陂中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是（

）A.(1，2)

B.(－1，2)

C.[1，2)

D.[－1，2)

参考答案：D因为在上单调递减，且，所以；故选D.2.双曲线的左右两支上各有一点，点在直线上的射影是点，若直线过右焦点，则直线必过点（

）A、

B、

C、

D、参考答案：B3.已知某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图是圆，且该几何体的体积为；直径为2的球的体积为．则A．

B． C．

D．参考答案：C4.函数的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像A.关于点对称

B.关于直线对称C.关于点对称

D.关于直线对称参考答案：D函数的最小周期是，所以，所以，所以函数，向右平移得到函数，此时函数为奇函数，所以有，所以，因为，所以当时，，所以.由，得对称轴为，当时，对称轴为，选D.5.若复数（m2﹣1）+（m+1）i为实数（i为虚数单位），则实数m的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．﹣1或1参考答案：A【考点】复数的基本概念．【分析】令虚部为0即可求得．【解答】解：∵（m2﹣1）+（m+1）i为实数，∴m+1=0，解得m=﹣1，故选A．6.设a=20.3，b=0.32，c=logx（x2+0.3）（x＞1），则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a参考答案：B【考点】指数函数单调性的应用．【分析】利用指数函数y=ax和对数函数的单调性，比较大小【解答】解：∵a=20.3＜21=2且a=20.3＞20=1，∴1＜a＜2，又∵b=0.32＜0.30=1，∵x＞1，∴c=logx（x2+0.3）＞logxx2=2，∴c＞a＞b．故选B7.将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D-AC-B的大小为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积的最小值是

（

）

A．

B．

C．

D．与的值有关的数参考答案：C8.设满足则A.有最小值2，最大值3

B.有最小值2，无最大值C.有最大值3，无最小值

D.既无最小值，也无最大值参考答案：B9.已知是平面的一条斜线，点A，为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是（

）

A.∥,⊥

B.⊥,⊥

C.⊥,∥

D.∥,∥参考答案：C10.在等差数列中，已知，则数列的前项和 A.

B.

C.

D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合，集合，则.参考答案：略12.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点Q在线段CC1上，则线段PQ长的最小值为

▲

．参考答案：线段PQ长的最小值为异面直线D1E，CC1之间距离，取B1C1中点M，则CC1//平面EMD1,所以异面直线D1E，CC1之间距离为点C1到平面EMD1距离，由得即线段PQ长的最小值为.

13.

在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为。（1）求圆C的极坐标方程；（2）求直线l被圆C所截得的弦长。参考答案：（Ⅰ）圆的极坐标方程为：

·········5分

（Ⅱ）圆心到直线距离为，圆半径为，所以弦长为

···········

10分略14.执行如图所示的程序框图，输出的S值为_________．参考答案：15.已知函数满足：，，则

．参考答案：略16.已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．若f（x）=2f′（x），则=．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；导数的运算．【分析】根据题意，对函数f（x）求导可得f′（x）=cosx﹣sinx，结合题意可得sinx+cosx=2（cosx﹣sinx），变形可得tanx=，由同角三角函数的基本关系式分析可得=，将tanx=代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）=sinx+cosx，则f′（x）=cosx﹣sinx，又由f（x）=2f′（x），即sinx+cosx=2（cosx﹣sinx），变形可得cosx=3sinx，即tanx=，==，又由tanx=，则===；故答案为：．17.当x>1时，函数y=x+的最小值是____________。参考答案：3略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD=135°，侧面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（Ⅰ）求证：EF⊥平面PAC；（Ⅱ）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所成的角相等，求的值．参考答案：【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（I）由平行四边形的性质可得AB⊥AC，即EF⊥AC，由面面垂直的性质得出PA⊥平面ABCD，故PA⊥EF，故EF⊥平面PAC；（II）以A为原点建立空间直角坐标系，设=λ（0≤λ≤1），求出平面PBC，平面ABCD的法向量及的坐标，根据线面角相等列方程解出λ．【解答】（Ⅰ）证明：∵在平行四边形ABCD中，∠BCD=135°，∴∠ABC=45°，∵AB=AC，∴AB⊥AC．∵E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB，∴EF⊥AC．∵侧面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，∴PA⊥底面ABCD．又EF?底面ABCD，∴PA⊥EF．又∵PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，∴EF⊥平面PAC．（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC两两垂直，以A为原点，分别以AB，AC，AP为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系如图：则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0），∴=（2，0，﹣2），=（﹣2，2，﹣2），，=（1，1，﹣2）．设=λ（0≤λ≤1），则=（﹣2λ，2λ，﹣2λ），∴==（1+2λ，1﹣2λ，2λ﹣2），显然平面ABCD的一个法向量为=（0，0，1）．

设平面PBC的法向量为=（x，y，z），则，即令x=1，得=（1，1，1）．∴cos＜，＞==，cos＜＞==．∵直线ME与平面PBC所成的角和此直线与平面ABCD所成的角相等，∴||=||，即，解得，或（舍）．∴．19.（本小题满分12分）已知函数，其中为实数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在实数，使得对任意，恒成立？若不存在，请说明理由，若存在，求出的值并加以证明．参考答案：（1）时，，，，………2分又所以切线方程为………4分（2）1°当时，，则令，，再令，当时，∴在上递减，∴当时，，∴，所以在上递增，，所以……8分2°时，，则由1°知当时，在上递增当时，，所以在上递增，∴∴；由1°及2°得：………12分20.如图，在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，PA＝AD＝2，AB＝BC＝1，点M、E分别是PA、PD的中点(1)求证：CE//平面BMD(2)点Q为线段BP中点，求直线PA与平面CEQ所成角的余弦值.参考答案：

21.已知抛物线，过其焦点作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线于点、和点、，线段、的中点分别为、.（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程；（Ⅱ）求面积的最小值；（Ⅲ）过、的直线是否过定点?若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）4；（Ⅲ）直线恒过定点.

试题解析：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为，设直线的方程为,.联立，得..设，，则，，∴.（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）知直线的斜率为：，所以直线的方程为:,即，（*）当，时方程（*）对任意的均成立，即直线过点.当时，直线的方程为：，也过点.所以直线恒过定点.……12分考点：求轨迹方程，直线与抛物线相交的综合问题．22.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且sinCcosB+sinBcosC=3sinAcosB；（1）求cosB的值；（2）若?=2，且b=2，求a+c的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由条件得sin（B+C）=3sinAcosB，再由sin（B+C）=sinA≠0，可得cosB=．（2）由两个向量的数量积的定义得到ac=6，再由余弦