高中数学高考三轮冲刺 天津南开中学2023届高三数学解析压轴题复习

椭圆：的离心率为，是椭圆的焦点，直线的斜率为，为坐标原点.(Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）设过点的直线与相交于两点，当的面积最大时，求的方程.解：在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为.（Ｉ）求椭圆的方程；（II）过原点的直线与椭圆C交于A，B两点（A，B不是椭圆C的顶点）.点D在椭圆C上，且，直线BD与轴、轴分别交于M，N两点. （i）设直线BD，AM的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值； （ii）求面积的最大值.解：（I）由题意知，可得.椭圆C的方程可化简为.将代入可得，因此，可得.因此，所以椭圆C的方程为.（II）（ⅰ）设，则，因为直线AB的斜率，又，所以直线AD的斜率，设直线AD的方程为，由题意知，由，可得.所以，因此，由题意知，所以，所以直线BD的方程为，令，得，即.可得.所以，即.因此存在常数使得结论成立.（ⅱ）直线BD的方程，令，得，即，由（ⅰ）知，可得的面积，因为，当且仅当时等号成立，此时S取得最大值，所以的面积的最大值为.圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.（1）求的方程；（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆心过点P，求的方程.（Ⅰ）设切点坐标为，则切线斜率为，切线方程为，即，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为.由知当且仅当时有最大值，即S有最小值，因此点P得坐标为，由题意知解得，故方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦点坐标为，由此的方程为，其中.由在上，得，解得b12=3，因此C2方程为显然，l不是直线y=0.设l的方程为x=my+，点由得，又是方程的根，因此，由得因由题意知，所以，将①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直线l的方程为，或.设椭圆：，抛物线：．（Ⅰ）若经过的两个焦点，求的离心率；（Ⅱ）设，，又为与不在轴上的两个交点，若的垂心为，且的重心在上，求椭圆和抛物线的方程．（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由。(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有。由点在抛物线上，，解得：故，得重心坐标.由重心在抛物线上得：，，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。【审题要津】对：，令，解出的在轴上的横截距即为的焦点的横坐标，据此（与的关系）易得的离心率．解：（Ⅰ）对：，令，解得．由题设知，于是．【审题要津】易见同时是与的顶点．由是的垂心，可得，又的重心在上（坐标满足方程）也可得一个方程．两个方程均需点的坐标，于是应先由求出点的坐标（用的参数表示）．好在有一个已知的公共点，计算不难．解：（Ⅱ）设的焦距为，①-②得，．

注意到是其一个“当然的”根，依韦达定理，则另一根为．代入②，得．于是，．由，得．于是，，此时，，．的重心的坐标为．由，．解得，于是，，故的方程为，的方程为．【解法研究】（Ⅱ）求与的交点时，充分利用是其一个“已知”的公共点，对方程有一个根为的判断就是“当然的”——不算也可知，“验一下”也是为了确保方程无误．此外，计算过程中不宜追求用两个字母表示，否则式子会较繁，毕竟还有一个“做后盾”．如图，在平面直角坐标系xOy中，分别是椭圆的左、右焦点，顶点B的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结．（1）若点C的坐标为，且，求椭圆的方程；（2）若，求椭圆离心率e的值．【答案】本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与直线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力.满分14分.（1）∵，∴∵，∴，∴∴椭圆方程为（2）设焦点∵关于x轴对称，∴∵三点共线，∴，即①∵，∴，即②①②联立方程组，解得∴∵C在椭圆上，∴，化简得，∴,故离心率为已知椭圆，求椭圆的离心率.设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.

解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为。所以，从而。因此。故椭圆C的离心率。（Ⅱ）直线AB与圆相切。证明如下：设点A,B的坐标分别为，，其中。因为，所以，即，解得。当时，，代入椭圆C的方程，得，故直线AB的方程为。圆心O到直线AB的距离。此时直线AB与圆相切。当时，直线AB的方程为，即，圆心0到直线AB的距离又，故此时直线AB与圆相切。设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.（1）已知直线的斜率为，用表示点的坐标；（2）若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.（=1\*ROMANI）设直线的方程为，由，消去得，，由于直线与椭圆只有一个公共点，故，即，解得点的坐标为，由点在第一象限，故点的坐标为；（=2\*ROMANII）由于直线过原点，且与垂直，故直线的方程为，所以点到直线的距离，整理得，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以点到直线的距离的最大值为.已知椭圆的一个焦点为，离心率为，（1）求椭圆C的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程。解：（１）可知，又，，，椭圆C的标准方程为；（２）设两切线为，①当轴或轴时，对应轴或