2021-2022学年广东省深圳市盐田中学高三数学文期末试卷含解析

2021-2022学年广东省深圳市盐田中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知为等比数列，若，则（

） A、10 B、20

C、60

D、100参考答案：D略2.已知α，β是相交平面，直线l?平面α，则“l⊥β”是“α⊥β”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】α，β是相交平面，直线l?平面α，则“l⊥β”?“α⊥β”，反之也成立．即可判断出结论．【解答】解：α，β是相交平面，直线l?平面α，则“l⊥β”?“α⊥β”，反之不一定成立．∴“l⊥β”是“α⊥β”的充要不必要条件．故选：A．3.已知集合，.则（

）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略4.在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC，则A的取值范围是(

)A．（0，] B．（0，] C．[，π） D．[，π）参考答案：B【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】利用正弦定理化简已知的不等式，再利用余弦定理表示出cosA，将得出的不等式变形后代入表示出的cosA中，得出cosA的范围，由A为三角形的内角，根据余弦函数的图象与性质即可求出A的取值范围．【解答】解：利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C﹣sinBsinC得：a2≤b2+c2﹣bc，变形得：b2+c2﹣a2≥bc，∴cosA=≥=，又∵A为三角形的内角，∴A的取值范围是（0，]．故选：B．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，特殊角的三角函数值，以及余弦函数的图象与性质，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，属于基础题．5.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则对任意，函数的根的个数至多为（

）(A)3

(B)4

(C)6

(D)9参考答案：A当时，由此可知在上单调递减，在上单调递增，，，且时，又在上为奇函数，所以，而时，所以大致图象如图所示：令，则时，方程至多有3个根，当时，方程没有根，而对任意，，方程至多有一个根，从而函数的根的个数至多有3个。6.设a∈R，则“a=1”是“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”的（） A．充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件参考答案：考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析： 结合直线平行的条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答： 解：若直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行，则a2=1，解得a=1或a=﹣1．所以“a=1”是“直线y=a2x+1与直线y=x﹣1平行”的充分不必要条件．故选A．7.从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（）A．至少有一个红球与都是红球B．至少有一个红球与都是白球C．至少有一个红球与至少有一个白球D．恰有一个红球与恰有二个红球参考答案：D【考点】互斥事件与对立事件．【分析】分析出从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球的所有不同的情况，然后利用互斥事件和对立事件的概念逐一核对四个选项即可得到答案．【解答】解：从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种：3个球全是红球；2个红球1个白球；1个红球2个白球；3个球全是白球．选项A中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件；选项B中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项C中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的交事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项D中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有二个红球”互斥不对立．故选：D．8.若(其中i是虚数单位)，则实数a=(

)A.－3 B.－1 C.1 D.3参考答案：A【分析】利用复数的四则运算可求出实数的值.【详解】因为，故，整理得到，所以，故选A.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.9.已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上，AB=6，，棱锥O-ABCD的体积为，则球O的表面积为A．

B．

C．

D．参考答案：D由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径，，设O到平面ABCD的距离为h，则，解得∴∴.10.A∈平面α。AB=5，AC=,若AB与α所成角正弦值为0.8，AC与α成450角，则BC距离的范围（）A.

B.C.

D.∪参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数，若关于的方程有3个不同的实根，则实数的取值范围为______________参考答案：12.已知函数f（x）=（x﹣2）ex﹣x2+kx（k是常数，e是自然对数的底数，e=2.71828…）在区间（0，2）内存在两个极值点，则实数k的取值范围是

．参考答案：（1，e）∪（e，e2）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，问题转化为k=ex在（0，2）的交点问题，求出k的范围即可．【解答】解：f′（x）=（x﹣1）ex﹣k（x﹣1）=（x﹣1）（ex﹣k），若f（x）在（0，2）内存在两个极值点，则f′（x）=0在（0，2）有2个解，令f′（x）=0，解得：x=1或k=ex，而y=ex（0＜x＜2）的值域是（1，e2），故k∈（1，e）∪（e，e2），故答案为：（1，e）∪（e，e2）．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．13.在平面几何里，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的”.拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的

.参考答案：14.参考答案：-215.已知，则 .参考答案：0或

由题意得，得或，当时，得，则，当，得，则，所以或。

16.已知函数，且，则对于任意的，函数总有两个不同的零点的概率是

.参考答案：恒成立。即由几何概率可得P=17.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，焦距为8，左顶点为A，在y轴上有一点B（0，b），满足?=2a，则该双曲线的离心率的值为

．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用向量的数量积公式，可得﹣4a+b2=2a，即16﹣a2=6a，可得a的值，由此可求双曲线的离心率．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），F（4，0），B（0，b），∴=（﹣a，﹣b），=（4，﹣b）∵?=2a，∴（﹣a，﹣b）?（4，﹣b）=2a，∴﹣4a+b2=2a，∴b2=6a，∴16﹣a2=6a，∴a=2，∴e===2，故答案为：2三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数，其中a是实数，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的点，且x1＜x2．（I）指出函数f（x）的单调区间；（II）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线互相垂直，且x2＜0，求x2﹣x1的最小值；（III）若函数f（x）的图象在点A，B处的切线重合，求a的取值范围．参考答案：略19.如图，在平面四边形中，，，.（1）求对角线BD的长；（2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，求△BCD面积的最大值.参考答案：(1)(2)【分析】（1）根据条件和诱导公式可求得的值，结合正弦定理即可求得BD的长。（2）根据余弦定理，结合不等式即可求得面积的最大值。【详解】（1）在中，，由正弦定理得，即.（2）由已知得，，所以，在中，由余弦定理可得，则，即，所以，当且仅当时取等号.【点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积的最值问题，属于基础题。20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分。已知函数.（1）若，求的取值范围；（2）若是以2为周期的偶函数，且当时，有，求函数的反函数.参考答案：（1）由，得.由得.……3分因为，所以，.

由得.……6分（2）当x?[1,2]时，2-x?[0,1]，因此.……10分由单调性可得.因为，所以所求反函数是，.……14分21.如图，在三棱锥A﹣BCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=6，BC=CD=6，E点在平面BCD内，EC=BD，EC⊥BD．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCDE；（Ⅱ）设点G在棱AC上，若二面角C﹣EG﹣D的余弦值为，试求的值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）连接BE，设BD交CE于O，只需证明CD⊥AE，BC⊥AE，BC∩CD=C，即可得所以AE⊥平面BCDE（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明过程知BCDE为正方形，如图建立坐标系，则：E（0，0，0），D（0，6，0），A（0，0，6），B（6，0，0），C（6，6，0）设（t＞0），G（x，y，z）由可得，则，易知平面CEG的一个法向量为，求出平面DEG的一个法向量为．利用向量的夹角公式求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：连接BE，设BD交CE于O，因为△BCD是等腰直角三角形CO⊥BD，所以，又EC=BD，所以O是BD和CE的中点已知EC⊥BD，所以四边形BCDE是正方形则CD⊥ED，又CD⊥AD，AD∩CD=D所以CD⊥平面ADE，CD⊥AE同理BC⊥AE，BC∩CD=C所以AE⊥平面BCDE；（Ⅱ）由（Ⅰ）的证明过程知BCDE为正方形，如图建立坐标系，则：E（0，0，0），D（0，6，0），A（0，0，6），B（6，0，0），C（6，6，0）设（t＞0），G（x，y，z）由可得则，易知平面CEG的一个法向量为设平面