高中数学人教A版2第一章导数及其应用 第一章曲边梯形的面积

第一章导数及其应用定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积A级基础巩固一、选择题1．在计算由曲线y＝－x2以及直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形的面积时，若将区间[－1，1]n等分，则每个小区间的长度为()\f(1,n)\f(2,n)\f(2,n－1)\f(2,n＋1)解析：区间长度为2，将其n等分得每一个小区间的长度为eq\f(2,n).答案：B2．在求由函数y＝eq\f(1,x)与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1，2]等分成n个小区间，则第i个小区间为()\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n))) \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋i－1,n)，\f(n＋i,n)))C．[i－1，i] \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i,n)，\f(i＋1,n)))解析：把区间[1，2]等分成n个小区间后，每个小区间的长度为eq\f(1,n)，且第i个小区间的左端点不小于1，所以选B.答案：B3．在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi＋1]上的近似值()A．只能是左端点的函数值f(xi)B．只能是右端点的函数值f(xi＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均不正确解析：由求曲边梯形面积的“近似代替”知，选项C正确．答案：C4．直线x＝a，x＝b(a＜b)，y＝0和曲线y＝f(x)(f(x)＞0)所围成的曲边梯形的面积S＝()\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·eq\f(1,n) B．eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·eq\f(1,n)\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·eq\f(b－a,n) D．eq^\o(,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)·f(ξi)解析：第n个小曲边梯形的面积可近似的表示为eq\f(b－a,n)·f(ξi)．所以，曲边梯形的面积为eq^\o(,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)·f(ξi)答案：D5．对于由函数y＝x3和直线x＝1，y＝0围成的曲边梯形，把区间[0，1]三等分，则曲边梯形面积的近似值(每个ξi取值均为小区间的左端点)是()\f(1,9)\f(1,25)\f(1,27)\f(1,30)解析：S＝0×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).答案：A二、填空题6．在区间[1，10]上等间隔地插入8个点，则将它等分成9个小区间，每个小区间的长度为____．解析：区间[1，10]长度为9，将它等分成9个小区间，每个小区间的长度为1.答案：17．若xi=1,则(2xi＋1)=______.解析：(2xi＋1)＝2(x1＋x2＋x3＋x4＋x5)＋5＝2×1＋5＝7.答案：78．直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2＋1围成曲边梯形，将区间[0，2]五等分，按照区间左端点和右端点估计曲边梯形面积分别为________、________．解析：分别以小区间左、右端点的纵坐标为高，求所有小矩形面积之和．S1＝(02＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1)×＝；S2＝＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋22＋1)×＝.答案：三、解答题9．求出由直线x＝0，x＝3，y＝0和曲线y＝eq\r(4－（x－1）2)围成的平面图形的面积．解：圆(x－1)2＋y2＝4在第一象限的面积如图所示：∠ACB＝eq\f(2π,3)，OB＝eq\r(3)，面积S＝S△BOC＋S扇形ACB＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)×2×2×eq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(4π,3).10．求直线x＝2，y＝0和曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积．解：(1)分割：把区间[0，2]等分成n个小区间，第i个小区间的长度为eq\f(2,n)，过各分点作x轴的垂线，把曲边梯形分割成n个小曲边梯形．(2)近似代替：当n很大时，区间长度很小，小曲边梯形近似于小矩形，第i个小矩形的高度用feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,n)))代替(i＝1，2，…，n)．(3)求和：各矩形面积之和Sn＝eq\i\su(i＝1,n,f)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,n)))Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2i,n)))eq\s\up12(2)eq\f(2,n)＝eq\f(8,n3)(12＋22＋…＋n2)＝eq\f(8,n3)eq\f(n（n＋1）（2n＋1）,6)＝eq\f(8,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n))).(4)取极限：当n趋向于＋∞时，Sn趋向于eq\f(8,3)，所以曲边梯形的面积S＝eq\f(8,3).B级能力提升1．已知直线l：y＝ax＋b和曲线C：y＝ax2＋bx，则由直线l和曲线C所围成的平面图形(图中阴影部分)只可能是()解析：对于选项A，直线l和曲线C中的a＞0，b＜0，符合条件．答案：A2．如图所示，曲线C∶y＝2x(0≤x≤2)两端分别为M，N，且NA⊥x轴于点A，把线段OA分成n等份，以每一段为边作矩形，使其与x轴平行的边的一个端点在曲线C上，另一端点在曲线C的下方，设这n个矩形的面积之和为Sn，则eq^\o(,\s\do4(n→∞))[(2n－3)(eq\r(n,4)－1)Sn]＝________．解析：依题意可知从原点开始，矩形的高成等比数列，首项为1，公比为2eq\s\up13(\f(2,n))，则Sn＝eq\f(2,n)(1＋2eq\s\up13(\f(2,n))＋2eq\s\up13(\f(4,n))＋…＋2eq\s\up13(\f(2n－2,n)))＝eq\f(2,n)·eq\f(1－2\s\up13(\f(2n,n)),1－2\s\up13(\f(2,n)))＝eq\f(2,n)·eq\f(－3,1－\r(n,4)).所以eq^\o(,\s\do4(n→∞))[(2n－3)(eq\r(n,4)－1)Sn]＝eq^\o(,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（2n－3）（\r(n,4)－1）\f(2,n)·\f(－3,1－\r(n,4))))＝12.答案：123．求y＝x3与x＝0，y＝±8围成的图形的面积．解：所求面积如图阴影部分所示，由对称性知S1＝S2，故所求面积为2S1.先求y＝x3与y＝0，x＝0，x＝2围成的面积S′1如下：(1)分割：将[0，2]分成n等份eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2（i－1）,n)，\f(2i,n)))(i＝1，2，3，…，n)，每个小区间距离为Δx＝eq\f(2,n).(2)近似代替：ΔSi＝f(ξi)Δx＝(eq\f(2i,n))3Δx.(4)求极限：eq\f(1,2)S＝eq^\o(,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)))\s\up12(3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,n)))\s\up12(3)＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2n,n))