2021-2022学年山西省忻州市田家炳中学高三数学文联考试题含解析

2021-2022学年山西省忻州市田家炳中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知定义在上的函数满足，且，，若有穷数列（）的前项和等于，则等于(

)A．4

B．5

C．6

D．7参考答案：B，因为，所以，即函数单调递减，所以.又，即，即，解得（舍去）或.所以，即数列为首项为，公比的等比数列，所以，由得，解得，选B.2.某程序框图如图所示,当程序运行后，输出T的值是

(A)204(B)140(C)91(D)55参考答案：B3.设函数f(x)＝若f(α)＝4，则实数α=()A．－4或－2

B．－4或2C．－2或4

D．－2或2参考答案：B当α≤0时，f(α)＝－α＝4，α＝－4；当α＞0，f(α)＝α2＝4，α＝2.4.函数的值域为A.[1,] B.[1,2] C.[,2] D.[参考答案：D【分析】因为函数，平方求出的取值范围，再根据函数的性质求出的值域.【详解】函数定义域为：，因为，又，所以的值域为.故选D.【点睛】本题考查函数的值域，此题也可用三角换元求解.求函数值域常用方法：单调性法，换元法，判别式法，反函数法，几何法，平方法等.5.在某新型材料的研制中，实验人员获得了如下一组实验数据：现准备下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是(

)X1.99345.16.12Y1.54.047.51218.01

A．y=2x﹣1 B．log2x C．y= D．y=（）x参考答案：C考点：归纳推理．专题：函数的性质及应用；推理和证明．分析：由表中的数据分析得：自变量基本上是等速增加，相应的函数值增加的速度越来越快，结合基本初等函数的单调性，利用排除法可得出正确的答案．解答： 解：由表格中的数据知，y随x的变化趋势，可得函数在（1，+∞）上是增函数，且y的变化随x的增大越来越快，∵A中函数是线性增加的函数，B中函数是比线性增加还缓慢的函数，D中函数是减函数；∴排除A，B、D答案，C中函数y=比较符合题意，故选：C．点评：本题考查函数模型的选择与应用问题，解题的关键是掌握各种基本初等函数，如一次函数，二次函数，指数函数，对数函数的图象与性质，是基础题．6.执行如题(7)图所示的程序框图，则输出的结果为A．189

B．381

C．93

D．45参考答案：A7.=（

）

A．1

B．

C．

D．参考答案：D因为，故选择D。8.在如图所示的矩形中随机投掷30000个点，则落在曲线C下方（曲线C为正态分布N（1，1）的正态曲线）的点的个数的估计值为（）附：正态变量在区间（μ﹣σ，μ+σ），（μ﹣2σ，μ+2σ），（μ﹣3σ，μ+3σ）内取值的概率分别是0.683，0.954，0.997．A．4985 B．8185 C．9970 D．24555参考答案：D【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P（0＜X＜3）=0.683+（0.954﹣0.683）=0.8185，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X＜3）=0.683+（0.954﹣0.683）=0.8185，∴落在曲线C下方的点的个数的估计值为30000×0.8185=24555，故选：D．9.双曲线A．

B．

C．

D．参考答案：B 10.以下四个命题中，真命题的个数是（）①“若a+b≥2则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题；②存在正实数a，b，使得lg（a+b）=lga+lgb；③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要条件．A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，写出命题“若a+b≥2则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题，可举例判断①；②，存在正实数a=2，b=2，使得lg（2+2）=lg2+lg2；③，写出“所有奇数都是素数”的否定，再举例说明，可判断③；④，在△ABC中，利用大角对大边及正弦定理可判断④．【解答】解：对于①，“若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2”，错误，如a=3≥1，b=﹣2，但a+b=1＜2；对于②，存在正实数a=2，b=2，使得lg（2+2）=lg22=2lg2=lg2+lg2成立，故②正确；对于③，“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”，如：9是奇数，但不是素数，故③正确；对于④，在△ABC中，A＜B?a＜b?2RsinA＜2RsinB?sinA＜sinB，故△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分必要条件，故④错误．综上所述，②③正确，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知向量p＝(1，－2)，q＝(x,4)，且p∥q，则p·q的值为________．参考答案：-1012.（选修4—4：坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．设直线与曲线C交于，两点，则=

．参考答案：013.已知均为正数，且，则的最大值为

参考答案：14.函数的零点个数是

▲

．参考答案：3当时，由得，设，作出函数的图象，由图象可知，此时有两个交点。当时，由，解得。所以函数的零点个数为3个。15.给出下列命题：①已知a，b都是正数，且，则a＜b；②已知f′(x)是f(x)的导函数，若x∈R，f′(x)≥0，则f(1)＜f(2)一定成立；③命题“x∈R，使得x2－2x＋1＜0”的否命题是真命题；④“x≤1且y≤1”是“x＋y≤2”的充要条件．其中正确命题的序号是__________．(把你认为正确命题的序号都填上)参考答案：①16.的二项展开式中的常数项是

(用数值作答)．参考答案：300317.计算：=

.参考答案：0【知识点】定积分的应用解析：（x3cosx）dx=x3dsinx=======﹣（﹣3）3sin（﹣3）﹣3?（﹣3）2cos（﹣3）﹣6sin3=﹣27sin3﹣27cos3﹣6sin3=﹣33sin3﹣27cos3．同理,所以=0.故答案为0.【思路点拨】直接利用分步积分求解定积分的值．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18..已知数列{an}的前n项和为Sn，.（1）若，求证：，，必可以被分为1组或2组，使得每组所有数的和小于1；（2）若，求证：，，…，必可以被分为m组（），使得每组所有数的和小于1．参考答案：（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）先将最大的一个数一组，另两个一组，利用反证法证明这两个较小的数的和小于1；（2）先将其中介于和1之间的单独分一组，再把小于的数进行拼凑成若干组，保证每组都介于和1之间，最后剩余的分成一组，再分析介于和1之间组数小于等于k即可.【详解】解：（1）不妨设假设，则所以所以与矛盾，因此,所以必可分成两组、使得每组所有数的和小于1（2）不妨设，先将，，…，单独分为一组，再对后面项依次合并分组，使得每组和属于，最后一组和属于，不妨设将，，…，分为，，…，，，共组，且其中组，，…，，，最后一组首先必小于等于，否则，与，矛盾当时，则所以只需将，，…，分为，，…，，，即可满足条件；当时，可将与合成一组，且，否则，矛盾此时只需将，，…，分为，，…，，，即可满足条件，所以，，…，必可以被分为m组(1≤m≤k)，使得每组所有数的和小于1．【点睛】本题主要考查推理论证能力，抓住题中的关键点进行分组处理，同时结合反证法进行论述推理.19..如图，三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，分别是的中点（1）求证：∥平面；（2）求证：⊥平面；（3）求三棱锥的体积的体积．参考答案：略20.（12分）某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，l与水平地面的夹角为a，。试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高）。参考答案：解析：以O为原点，OA为轴、OB为轴建立直角坐标系，各点坐标为：（200，0），（0，220），（0，300）直线的方程为：设点P的坐标为（，）（）直线PC的斜率直线PB的斜率由直线PC到直线PB的角的公式，得由均值不等式：当且仅当时，即时上式等号成立，这时，点P的纵坐标为当最大时，最大。所以，当此人距地面60米的时，观看铁塔的视角最大。21.某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65分到145分之间（满分150分），将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，……第八组[135，145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．（1）求第七组的频率，并完成频率分布直方图；（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．参考答案：解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：．完成频率分布直方图如下：（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：（3）样本成绩属于第六组的有人，样本成绩属于第八组的有人，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，基本事件总数