2021-2022学年山东省潍坊市峡山第二中学高三数学理期末试题含解析

2021-2022学年山东省潍坊市峡山第二中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知数列{an}中，an=（n∈N），则数列{an}的最大项是

（

）

A．第12项

B．第13项

C．第12项或13项

D．不存在参考答案：C2.已知x，y满足约束条件如果目标函数的取值范围为[0,2)，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．参考答案：D3.在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了四个不同的模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的为（

）

A.模型①的相关指数为0.976

B.模型②的相关指数为0.776C.模型③的相关指数为0.076

D.模型④的相关指数为0.351参考答案：A根据相关指数R2的值越大，模型拟合的效果越好，

比较A、B、C、D选项，A的相关指数最大，∴模型①拟合的效果最好．4.复数（i是虚数单位）的虚部是A． B． C. D.参考答案：D略5.已知集合，集合，则（）A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.若复数z满足z?i﹣3i=|3+4i|，则z的共轭复数为（）A．3﹣5i B．3+5i C．5﹣3i D．5+3i参考答案：B【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】求出复数的模，移向变形后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z?i﹣3i=|3+4i|，得，∴，则．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．7.函数f（x）＝Asin（ωx＋）（其中A＞0，｜｜＜）的部分图象如图所示，为了得到g（x）＝cos2x的图象，则只要将f（x）的图象A．向右平移个单位长度

B．向右平移个单位长度

C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度参考答案：D略8.“”是“是第一象限角”的A.充分必要条件 B.充分非必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件.参考答案：【知识点】充分条件、必要条件A2【答案解析】C

由sinθ?cosθ＞0?θ在第一象限或第三象限，θ在第一象限?sinθ?cosθ＞0，

∴“sinθ?cosθ＞0”是“θ在第一象限”的必要不充分条件，故选：C．【思路点拨】由sinθ?cosθ＞0推不出θ在第一象限，由θ在第一象限能推出sinθ?cosθ＞0，从而得出结论．9.已知函数（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D10.已知向量，满足，则向量与的夹角为（A）

（B） （C）

（D）参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若方程有四个不等实根，则实数a的取值范围为__________.参考答案：【分析】先判断的性质，结合方程有四个不等实根，可求实数的取值范围.【详解】因为，所以为偶函数；当时，，为增函数，所以；有四个不等实根，即，，且，则，解得，即实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查函数的性质及根的分布问题，根的分布结合根的情况列出限定条件是求解的关键，侧重考查数学抽象的核心素养.12.抛物线上有一动弦AB，中点为M，且弦AB的长为3，则点M的纵坐标的最小值为．参考答案：解：设直线的方程为，联立，化为，由题意可得△．，．，，中点的纵坐标:．故答案为：．13.已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则?=

．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，可得要求的式子为（）?（），再根据两个向量垂直的性质，运算求得结果．【解答】解：∵已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则=0，故=（）?（）=（）?（）=﹣+﹣=4+0﹣0﹣=2，故答案为2．14.函数f（x）=xex在点（1，f（1））处的切线的斜率是．参考答案：2e考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，在导函数解析式中取x=1得答案．解答：解：∵f（x）=xex，∴f′（x）=ex+xex，则f′（1）=2e．故答案为：2e．点评：本题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，考查了基本初等函数的导数公式，是基础题．15.三棱柱ABC-A1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，∠ACB=120°，CA=CB=，AA1=4，则这个球的表面积为__________。参考答案：

16.若集合，，则

.参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关方程与代数的基本知识.【知识内容】方程与代数/集合与命题/交集、并集、补集.【试题分析】,，所以由集合的基本运算得,故答案为.17.已知圆与圆交于两点，则所在直线的方程为

参考答案：2x+y=0略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知数列{an}满足：a1=1，a2=a（a≠0），（其中p为非零常数，n∈N*）．（1）判断数列是不是等比数列？（2）求an；（3）当a=1时，令，Sn为数列{bn}的前n项和，求Sn．参考答案：考点：数列的求和；等比关系的确定．.专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）由an+2=p?可求得=p?，利用等比数列的定义即可判断数列是否为等比数列；（2）利用累乘法an=?…?a1=（apn﹣2）×（apn﹣3）×…×（ap0）×1即可求得an；（3）当a=1时，bn==np2n﹣1，利用错位相减法与分类讨论思想即可求得数列{bn}的前n项和Sn．解答：解：（1）由an+2=p?得=p?…（1分）令cn=，则c1=a，cn+1=pcn．∵a≠0，∴c1≠0，故=p（非零常数），∴数列是等比数列，…（3分）（2）∵数列{cn}是首项为a，公比为p的等比数列，∴cn=c1?pn﹣1=a?pn﹣1，即=apn﹣1．

…（4分）当n≥2时，an=?…?a1=（apn﹣2）×（apn﹣3）×…×（ap0）×1=an﹣1，…（6分）∵a1满足上式，∴an=an﹣1，n∈N*．

…（7分）（3）∵=?=（apn）×（a?pn﹣1）=a2p2n﹣1，∴当a=1时，bn==np2n﹣1．

…（8分）∴Sn=1×p1+2×p3+…+n×p2n﹣1，①p2Sn=1×p3+…+（n﹣1）p2n﹣1+n×p2n+1②∴当p2≠1，即p≠±1时，①﹣②得：（1﹣p2）Sn=p1+p3+…+p2n﹣1﹣np2n+1，∴Sn=﹣，p≠±1．

…（11分）而当p=1时，Sn=1+2+…+n=，…（12分）当p=﹣1时，Sn=（﹣1）+（﹣2）+…+（﹣n）=﹣．…（13分）综上所述，Sn=…（14分）点评：本题考查等比数列的通项公式、等比数列求和公式、简单递推数列求通项、错位求和等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化、分类讨论的思想，属于难题．19.在△ABC中，AB=6，AC=3，?=﹣18．（1）求BC的长；（2）求tan2B的值．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据向量积的运算由?=﹣18可得AB?AC?cosA=18，利用余弦定理可求BC的长度．（2）方法1：利用余弦定理求解cosB和sinB，可得tanB，在利用二倍角公式求tan2B．方法2：利用正弦定理求sinB，在求cosB，可得tanB，在利用二倍角公式求tan2B．【解答】解：（1）由?=﹣18可得AB?AC?cosA=﹣18，∵AB=6，AC=3∴cosA==﹣，∵0＜A＜π，∴A=由余弦定理可得：BC==；（2）方法1：由（1）可得：a=3，b=3，c=6，可得：cosB==那么sinB=∴tanB=故得tan2B==．方法2：由（1）可得：cosA=﹣，A=那么：∵a=3，b=3，c=6，那么sinA=正弦定理可得：，可得sinB==，那么：cosB=∴tanB=故得tan2B==．20.一个袋中装有7个大小相同的球，其中红球有4个，编号分别为1，2，3，4；蓝球3个，编号为2，4，6，现从袋中任取3个球（假设取到任一球的可能性相同）．（I）求取出的3个球中，含有编号为2的球的概率；（Ⅱ）记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（I）从7个球中取出3个球，基本事件总数n=C73=35，然后求出取出的3个球中，含有编号为2的球的结果数，代入古典概率的求解公式即可求解（II）先判断随机变量ξ所有可能取值为0，1，2，3，根据题意求出随机变量的各个取值的概率，即可求解分布列及期望值．【解答】解：（Ⅰ）设“取出的3个球中，含有编号为2的球”为事件A，则从盒子中取出3个球，基本事件总数n=C73=35，其中含有2号球的基本事件个数m=C21C52+C22C51=25，∴取出的3个球中，含有编号为2的球的概率=．…（Ⅱ）ξ所有可能取值为0，1，2，3．…P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，…所以随机变量ξ的分布列是ξ0123P随机变量ξ的数学期望Eξ=1×+2×+3×=．…21.若二次函数满足，．（）求的解析式．（）若区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：见解析（）∵，，令，∴，∴，∴，①令，∴，∴，∴，②联立①②解出，，∴．（）∵在上恒成立，∴，∴，又∵函数的对称轴为，∴函数在上单调递减，∴当时，恒成立，∴，，∴．22.某市教育局邀请教育专家深入该市多所中小学，开展听课、访谈及随堂检测等活动．他们把收集到的180节课分为三类课堂教学模式：教师主讲的为A模式，少数学生参与的为B模式，多数学生参与的为C模式．A、B、C三类课的节数比例为3：2：1（Ⅰ）为便于研究分析，教育专家将A模式称为传统课堂模式，B、C统称为新课堂模式，根据随堂检测结果，把课堂教学效率分为高效和非高效，根据检测结果统计得到如下2×2列联表（单位：节），请由统计数据回答：有没有99%的把握认为课堂教学效率与教学模式有关？并说明理由．

高效非高效统计新课常模式603090传统课堂模式405090统计10080180（Ⅱ）教育专家采用分层抽样的方法从收集到的180节课中选出18节课作为样本进行研究，并从样本的B模式和C模式课堂中随机抽取3节课．①求至少有一节为C模式课堂的概率；②设随机抽取的3节课中含有C模式课堂的节数为X，求X的分布列和数学期望．参考临界值表：P（K2≧K0）0.100.050.0250.0100.0050.001K02.7063.8415.0246.6357.89710.828参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【专题】综合题；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由列联表中的统计数据，直接计算随机变量K2的观测值，然后推出结果即可．（Ⅱ）①从样本中的B、C模式课堂中随机抽取3节课，故该实验为古典概型．求解概率即可．②X的所有取值为0，1，2，3．求出概率，然后列出分布列计算期望．【解答】解：（Ⅰ）由列联表中的统计数据计算随机变量K2的观测值为：K2==9＞6