2021-2022学年四川省达州市渠县有庆一中学高三数学理期末试题含解析

2021-2022学年四川省达州市渠县有庆一中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设若，则的值是(

)

A.1

B.2

C.1

D.-2参考答案：C2.函数的零点所在的区间为A.

B.

C.

D.参考答案：B试题分析：由于，，因此，故函数在区间内有零点，故答案为B.考点：函数零点的判断.3.{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，则a11+a12+a13=（）A．120 B．105 C．90 D．75参考答案：B【考点】等差数列．【分析】先由等差数列的性质求得a2，再由a1a2a3=80求得d即可．【解答】解：{an}是公差为正数的等差数列，∵a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，∴a2=5，∴a1a3=（5﹣d）（5+d）=16，∴d=3，a12=a2+10d=35∴a11+a12+a13=105故选B．4.（5分）设P是△ABC所在平面内的一点，，则（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】：向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．【专题】：平面向量及应用．【分析】：根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果．解：∵，∴，∴∴∴故选B．【点评】：本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答．向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向量的加减运算．5.已知p：则p是q的（

）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：答案：A6.已知向量=（2cosα，2sinα），=（3cosβ，3sinβ），与的夹角为60°，则直线与圆的位置关系是（）A．相切

B．相交

C．相离

D．随α，β的值而定参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】只要求出圆心到直线的距离，与半径比较，可以判断直线与圆的位置关系．【解答】解：由已知得到||=2，||=3，?=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β）=6cos60°=3，所以cos（α﹣β）=，圆心到直线的距离为：=|cos（α﹣β）+|=1，圆的半径为，1＞，所以直线与圆相离；故选C．7.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为A．3

B．

C．

D．参考答案：B8.设集合,集合，则集合中有___个元素A．4

B．5 C．6 D． 7参考答案：

∵，所以，∴中有6个元素，故选．9.复数z满足方程=﹣i（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由=﹣i，得，然后利用复数代数形式的除法运算化简，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：由=﹣i，得，即z=1+i．则复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，1）．位于第一象限．故选：A．10.某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若等比数列{an}的前n项和为Sn，a3=，S3=，则公比q=

．参考答案：1或【分析】根据等比数列的前n项和建立等式，利用a3和q表示出a1与a2，然后解关于q的一元二次方程，即可求出所求．【解答】解：∵∴a1+a2+a3=则a1+a2=3∴化简得2q2﹣q﹣1=0解得q=1或故答案为：1或【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和，以及等比数列的通项，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．12.幂函数在上为增函数，则___________.参考答案：2略13.给出下列四个命题：①若，且则；②设，命题“若”的否命题是真命题；③函数的一条对称轴是直线；④若定义在上的函数是奇函数，则对定义域内的任意必有.其中，所有正确命题的序号是

▲

.参考答案：②④略14.右图是一个算法流程图，则输出的k的值是

.参考答案：515.抛物线的焦点坐标是

．参考答案：

16.已知向量，向量，且，则

;参考答案：617.已知圆，过点作的切线，切点分别为，则直线的方程为；参考答案：2x+3y-4=0以O（0，0）,A（2，3）为直径端点的圆的方程为：X（x-2）+y（y-3）-0即，与圆相减得：2x+3y-4=0，所以直线的方程为2x+3y-4=0三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲.如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于Q点，(1)求证:;

（2）若AQ=6，AC=5.求弦AB的长.

参考答案：(1)见解析(2)【知识点】选修4-1

几何证明选讲.解析：（1）∵PQ与⊙O相切于点A，∴∵

∴∴AC=BC=5由切割线定理得：

∴

------------5分（2）由AC=BC=5，AQ=6及（1），知

QC=9由

知∽

∴

∴

.

----------10分【思路点拨】(1)由割线定理易于求解.（2）由三角形相似即可求得弦AB的长.19.某企业2012年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从2013年起每年比上一年纯利润减少20万元，2013年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（2013年为第1年）的利润为500（1+）万元（n为正整数）．（1）设从2013年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An，Bn的表达式；（2）依上述预测，从2013年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？参考答案：【考点】函数模型的选择与应用；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据从2013年起每年比上一年纯利润减少20万元，可得An的表达式；根据2013年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（2013年为第1年）的利润为500（1+）万元，可得Bn的表达式；（2）作差，利用函数的单调性，即可得到结论．【解答】解：（1）依题设，An=（500﹣20）+（500﹣40）+…+（500﹣20n）=490n﹣10n2；Bn=500[（1+）+（1+）+…+（1+）]﹣600=500n﹣﹣100．（2）Bn﹣An=（500n﹣﹣100）﹣（490n﹣10n2）=10n2+10n﹣﹣100=10[n（n+1）﹣﹣10]．因为函数y=x（x+1）﹣﹣10在（，+∞）上为增函数，当1≤n≤3时，n（n+1）﹣﹣10≤12﹣﹣10＜0；当n≥4时，n（n+1）﹣﹣10≥20﹣﹣10＞0．∴仅当n≥4时，Bn＞An．答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润．【点评】本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识，考查运用数学知识解决实际问题的能力．20.设数列{an}的前n项和为Sn，满足（1﹣q）Sn+qan=1，且q（q﹣1）≠0．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若S3，S9，S6成等差数列，求证：a2，a8，a5成等差数列．参考答案：【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】（Ⅰ）求出a1=1．利用当n≥2时，由Sn﹣Sn﹣1=an，利用q（q﹣1）≠0，说明{an}是以1为首项，q为公比的等比数列，求出通项公式．（Ⅱ）求出Sn=，灵活S3+S6=2S9，得到a2+a5=2a8．说明a2，a8，a5成等差数列．【解答】解：（Ⅰ）当n=1时，由（1﹣q）S1+qa1=1，a1=1．当n≥2时，由（1﹣q）Sn+qan=1，得（1﹣q）Sn﹣1+qan﹣1=1，两式相减得：（1﹣q）an+qan﹣qan﹣1=0，即an=qan﹣1，又q（q﹣1）≠0，所以{an}是以1为首项，q为公比的等比数列，故an=qn﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知Sn=，又S3+S6=2S9，得+=，化简得a3+a6=2a9，两边同除以q得a2+a5=2a8．故a2，a8，a5成等差数列．21.已知函数f（x）=2sin（﹣πx+φ），x∈R（其中0≤φ≤）的图象与y轴交于点（0，1）．（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（2）设P是函数f（x）图象的最高点，M，N是函数f（x）图象上距离P最近的两个零点，求与的夹角的余弦值．参考答案：【考点】正弦函数的图象．【专题】函数思想；数形结合法；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）把（0，1）代入已知函数解析式可得φ值，可得f（x）=2sin（πx﹣），解不等式2kπ+≤πx﹣≤2kπ+可得单调递增区间；（2）分别令πx﹣=π，π和2π，可得P、M、N坐标，由向量的夹角公式可得．【解答】解：（1）把（0，1）代入已知函数解析式可得1=2sinφ，∵0≤φ≤，∴φ=，∴f（x）=2sin（﹣πx+）=﹣2sin（πx﹣），由2kπ+≤πx﹣≤2kπ+可解得2k+≤x≤2k+（k∈Z），∴函数的单调递增区间为（k∈Z）；（2）由（1）可得f（x）=﹣2sin（πx﹣），令πx﹣=π可解得x=，令πx﹣=π可解得x=，令πx﹣=2π可解得x=，故可取P（，2），M（，0），N（，0），∴=（﹣，﹣2），=（，﹣2），设与的夹角为α，则cosα==．【点评】本题考查正弦函数的图象，涉及单