高中数学苏教版1第2章圆锥曲线与方程 第2章7

2．6曲线与方程2．曲线与方程[学习目标]1.了解曲线与方程的对应关系.2.掌握证明已知曲线C的方程是f(x，y)＝0的方法和步骤．[知识链接]1．直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？答：相等．2．到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上，对吗？答：不对．3．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？为什么？答：y＝±x.在直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的坐标(x0，y0)满足y0＝x0或y0＝－x0；即(x0，y0)是方程y＝±x的解；反之，如果(x0，y0)是方程y＝x或y＝－x的解，那么以(x0，y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等．[预习导引]1．曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．2．点与曲线如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.要点一曲线与方程的概念例1证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0)的点的轨迹方程是xy＝±k.证明①如图，设M(x0，y0)是轨迹上的任意一点．因为点M与x轴的距离为|y0|，与y轴的距离为|x0|，所以|x0|·|y0|＝k，即(x0，y0)是方程xy＝±k的解．②设点M1的坐标(x1，y1)是方程xy＝±k的解，则x1y1＝±k，即|x1|·|y1|＝k.而|x1|，|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离，因此点M1到这两条直线的距离的积是常数k，点M1是曲线上的点．由①②可知，xy＝±k是与两条坐标轴的距离的积为常数k(k>0)的点的轨迹方程．规律方法解决此类问题要从两方面入手：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解，即直观地说“点不比解多”称为纯粹性；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，即直观地说“解不比点多”，称为完备性，只有点和解一一对应，才能说曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．跟踪演练1判断下列命题是否正确．(1)以坐标原点为圆心，半径为r的圆的方程是y＝eq\r(r2－x2)；(2)过点A(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|＝2.解(1)不正确．设(x0，y0)是方程y＝eq\r(r2－x2)的解，则y0＝eq\r(r2－x\o\al(2,0))，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝r2.两边开平方取算术平方根，得eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0))＝r即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点．因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．但是，以原点为圆心、半径为r的圆上的一点如点(eq\f(r,2)，－eq\f(\r(3),2)r)在圆上，却不是y＝eq\r(r2－x2)的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解．所以，以原点为圆心，半径为r的圆的方程不是y＝eq\r(r2－x2)，而应是y＝±eq\r(r2－x2).(2)不正确．直线l上的点的坐标都是方程|x|＝2的解．然而，坐标满足|x|＝2的点不一定在直线l上，因此|x|＝2不是直线l的方程，直线l的方程为x＝2.要点二由方程判断曲线例2下列方程表示如图所示的直线，对吗？为什么？不对请改正．(1)eq\r(x)－eq\r(y)＝0；(2)x2－y2＝0；(3)|x|－y＝0.解(1)中，曲线上的点不全是方程eq\r(x)－eq\r(y)＝0的解，如点(－1，－1)等，即不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”这一结论；(2)中，尽管“曲线上点的坐标都是方程的解”，但以方程x2－y2＝0的解为坐标的点不全在曲线上，如点(2，－2)等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在曲线上”这一结论；(3)中，类似(1)(2)得出不符合“曲线上的点的坐标都是方程的解”，“以方程的解为坐标的点都在曲线上”．事实上，(1)(2)(3)中各方程表示的曲线应该是下图的三种情况：规律方法判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线．跟踪演练2求方程(x＋y－1)eq\r(x－1)＝0所表示的曲线．解依题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x－1≥0，))或x－1＝0，即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1.综上可知，原方程所表示的曲线是射线x＋y－1＝0(x≥1)和直线x＝1.要点三曲线与方程关系的应用例3若曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)(a∈R)，求k的取值范围．解∵曲线y2－xy＋2x＋k＝0过点(a，－a)，∴a2＋a2＋2a＋k＝0.∴k＝－2a2－2a＝－2(a＋eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2).∴k≤eq\f(1,2)，∴k的取值范围是(－∞，eq\f(1,2)]．规律方法(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上．(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题．跟踪演练3已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断点P(1，－2)，Q(eq\r(2)，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M(eq\f(m,2)，－m)在此方程表示的曲线上，求m的值．解(1)∵12＋(－2－1)2＝10，(eq\r(2))2＋(3－1)2＝6≠10，∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(eq\r(2)，3)不在此曲线上．(2)∵M(eq\f(m,2)，－m)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，∴(eq\f(m,2))2＋(－m－1)2＝10.解得m＝2或m＝－eq\f(18,5).1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝－2eq\r(x)”的________条件．答案必要不充分解析∵y＝－2eq\r(x)≤0，而y2＝4x中y可正可负，∴点M在曲线y2＝4x上，但M不一定在y＝－2eq\r(x)上．反之点M在y＝－2eq\r(x)上时，一定在y2＝4x上．2．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是________．答案四个点解析由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4＝0，,y2－4＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝±2，,y＝±2.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－2.))3．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是________．答案④解析对于①，点(0，－1)满足方程，但不在曲线上，排除①；对于②，点(1，－1)满足方程，但不在曲线上，排除②；对于③，曲线上第三象限的点，由于x<0，y<0，不满足方程，排除③.4．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a>0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是________．答案a>1解析∵a>0，∴方程y＝a|x|和y＝x＋a的图象大致如图，要使方程y＝a|x|和y＝x＋a所确定的两条曲线有两个交点，则要求y＝a|x|在y轴右侧的斜率大于y＝x＋a的斜率，∴a>1.1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上．2．点(x0，y0)在曲线C上的充要条件是点(x0，y0)适合曲线C的方程．一、基础达标1．方程y＝3x－2(x≥1)表示的曲线为________．答案一条射线解析方程y＝3x－2表示的曲线是一条直线，当x≥1时，它表示一条射线．2．方程x2＋xy＝x表示的曲线是________．答案两条直线解析由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表示两条直线．3．曲线C的方程为y＝x(1≤x≤5)，则下列四点中在曲线C上的是________．①(0,0)②(eq\f(1,5)，eq\f(1,5))③(1,5)④(4,4)答案④解析(4,4)适合方程y＝x且满足1≤x≤5.4．方程x2＋y2＝1(xy<0)表示的曲线形状是________．答案③解析由x2＋y2＝1可知方程表示的曲线为圆．又∵xy<0，∴图象在第二、四象限内．5．下面各对方程中，表示相同曲线的一对方程是________(填序号)．①y＝x与y＝eq\r(x2)②(x－1)2＋(y＋2)2＝0与(x－1)(y＋2)＝0③y＝eq\f(1,x)与xy＝1④y＝lgx2与y＝2lgx答案③解析y＝eq\f(1,x)与xy＝1表示双曲线．6．下列命题正确的是________(填序号)．①方程eq\f(x,y－2)＝1表示斜率为1，在y轴上的截距是2的直线；②△ABC的顶点坐标分别为A(0,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则中线AO的方程是x＝0；③到x轴距离为5的点的轨迹方程是y＝5；④曲线2x2－3y2－2x＋m＝0通过原点的充要条件是m＝0.答案④解析对照曲线和方程的概念，①中，方程需满足y≠2；②中，“中线AO的方程是x＝0(0≤y≤3)”；而③中，动点的轨迹方程为|y|＝5，从而只有④是正确的．7．(1)方程|x|－1＝eq\r(1－y－12)表示什么曲线？(2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？解(1)|x|－1＝eq\r(1－y－12)⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|－1≥0，,1－y－12≥0，,|x|－12＝1－y－12，))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x|－1≥0，,|x|－12＝1－y－12，))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1或x≤－1，,|x|－12＋y－12＝1，))⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x－12＋y－12＝1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－1，,x＋12＋y－12＝1，))故方程表示两个半圆．(2)方程左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0，∵2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－12＝0，,y＋12＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))∴方程表示的图形是点A(1，－1)．二、能力提升8．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.答案5解析由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，解得a＝5.9．已知定点P(x0，y0)不在直线l：f(x，y)＝0上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的直线是________(填序号)．①过点p且垂直于l的直线；②过点p且平行于l的直线；③不过点P但垂直于l的直线；④不过点P但平行于l的直线．答案②解析点P的坐标(x0，y0)满足方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0，因此方程表示的直线过点P.又∵f(x0，y0)为非零常数，∴方程可化为f(x,y)＝f(x0，y0)，方程表示的直线与直线l平行．10．已知方程①x－y＝0；②eq\r(x)－eq\r(y)＝0；③x2－y2＝0；④eq\f(x,y)＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．答案①解析①是正确的；②不正确．如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不满足方程eq\r(x)－eq\r(y)＝0；③不正确．如点(－1,1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；④不正确．如点(0,0)在曲线C上，但其坐标不满足方程eq\f(x,y)＝1.11．方程(x＋y－1)eq\r(x2＋y2－4)＝0表示什么曲线？解由(x＋y－1)eq\r(x2＋y2－4)＝0可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x2＋y2－4≥0，))或x2＋y2－4＝0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x2＋y2≥4，))或x2＋y2＝4，由圆x2＋y2＝4的圆心到直线x＋y－1＝0的距离d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)<2得直线与圆相交，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1＝0，,x2＋y2≥4，))表示直线x＋y－1＝0在圆x2＋y2＝4上和外面的部分，x2＋y2＝4表示圆心在坐标原点，半径为2的圆．所以原方程表示圆心在坐标原点，半径为2的圆和直线x＋y－1＝0在圆x2＋y2＝4的外面的部分，如图所示．12．证明圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是x2＋y2＝25，并判断点M1(3，－4)，M2(－2