高中数学人教A版第三章三角恒等变换 优秀

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知cosθ＝－eq\f(1,4)(－180°＜θ＜－90°)，则coseq\f(θ,2)＝()A．－eq\f(\r(6),4) \f(\r(6),4)C．－eq\f(3,8) \f(3,8)解析：因为－180°＜θ＜－90°，所以－90°＜eq\f(θ,2)＜－45°.又cosθ＝－eq\f(1,4)，所以coseq\f(θ,2)＝eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝eq\r(\f(1－\f(1,4),2))＝eq\f(\r(6),4)，故选B.答案：B2．已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，cosα＝eq\f(4,5)，则taneq\f(α,2)＝()A．3 B．－3\f(1,3) D．－eq\f(1,3)解析：因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，且cosα＝eq\f(4,5)，所以eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，0))，taneq\f(α,2)＝－eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝－eq\r(\f(1－\f(4,5),1＋\f(4,5)))＝－eq\f(1,3)，故选D.答案：D3．若α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,4)，2π))，则eq\r(\f(1＋cos2α,2))－eq\r(\f(1－cos2α,2))等于()A．cosα－sinα B．cosα＋sinαC．－cosα＋sinα D．－cosα－sinα解析：∵α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,4)，2π))，∴sinα＜0，cosα＞0，则eq\r(\f(1＋cos2α,2))－eq\r(\f(1－cos2α,2))＝eq\r(cos2α)－eq\r(sin2α)＝|cosα|－|sinα|＝cosα－(－sinα)＝cosα＋sinα.答案：B4．已知sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，则2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))－1＝()\f(8,9) \f(17,18)C．－eq\f(8,9) D．－eq\f(2,3)解析：∵sinα＋cosα＝eq\f(1,3)，平方可得1＋sin2α＝eq\f(1,9)，可得sin2α＝－eq\f(8,9).2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))－1＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝sin2α＝－eq\f(8,9).答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知taneq\f(α,2)＝3，则cosα＝________．解析：cosα＝cos2eq\f(α,2)－sin2eq\f(α,2)＝eq\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),cos2\f(α,2)＋sin2\f(α,2))＝eq\f(1－tan2\f(α,2),1＋tan2\f(α,2))＝eq\f(1－32,1＋32)＝－eq\f(4,5).答案：－eq\f(4,5)6．若eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，则tan2α等于________．解析：由eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(1,2)，得2(sinα＋cosα)＝sinα－cosα，即tanα＝－3.又tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(－6,1－9)＝eq\f(6,8)＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)7．函数y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x的最小正周期为________．解析：y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(cos2x＋1,2)＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，所以该函数的最小正周期为π.答案：π三、解答题(每小题10分，共20分)8．化简：(1)eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))),2cos2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cos\f(α,2)－1).(2)已知π<α<eq\f(3π,2)，化简：eq\f(1＋sinα,\r(1＋cosα)－\r(1－cosα))＋eq\f(1－sinα,\r(1＋cosα)＋\r(1－cosα)).解析：(1)原式＝eq\f(sinαcos\f(π,4)＋cosαsin\f(π,4),cosα＋sinα)＝eq\f(\f(\r(2),2)（sinα＋cosα）,cosα＋sinα)＝eq\f(\r(2),2).(2)原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))\s\up12(2),\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))－\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2))))＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))\s\up12(2),\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(cos\f(α,2)))＋\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2))))，∵π<α<eq\f(3π,2)，∴eq\f(π,2)<eq\f(α,2)<eq\f(3π,4).∴coseq\f(α,2)<0，sineq\f(α,2)>0.∴原式＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2)))\s\up12(2),－\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2))))＋eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2)))\s\up12(2),\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)－cos\f(α,2))))＝－eq\f(sin\f(α,2)＋cos\f(α,2),\r(2))＋eq\f(sin\f(α,2)－cos\f(α,2),\r(2))＝－eq\r(2)coseq\f(α,2).9．求证：eq\f(sin（2α＋β）,sinα)－2cos(α＋β)＝eq\f(sinβ,sinα).证明：∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα－2cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝sin[(α＋β)－α]＝sinβ，两边同除以sinα得eq\f(sin（2α＋β）,sinα)－2cos(α＋β)＝eq\f(sinβ,sinα).能力测评10．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(\r(3),4)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，则sinθ＋cosθ的值是()\f(\r(6),2) B．－eq\f(\r(6),2)C．－eq\f(\r(2),2) \f(\r(2),2)解析：coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2θ))＝eq\f(1,2)cos2θ＝eq\f(\r(3),4).∴cos2θ＝eq\f(\r(3),2).∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，∴2θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴sin2θ＝－eq\f(1,2)，且sinθ＋cosθ＜0.∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).∴sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(2),2).答案：C11．已知A＋B＝eq\f(2π,3)，那么cos2A＋cos2B的最大值是________，最小值是________．解析：∵A＋B＝eq\f(2π,3)，∴cos2A＋cos2B＝eq\f(1,2)(1＋cos2A＋1＋cos2B)＝1＋eq\f(1,2)(cos2A＋cos2B)＝1＋cos(A＋B)cos(A－B)＝1＋coseq\f(2π,3)cos(A－B)＝1－eq\f(1,2)cos(A－B)，∴当cos(A－B)＝－1时，原式取得最大值eq\f(3,2)；当cos(A－B)＝1时，原式取得最小值eq\f(1,2).答案：eq\f(3,2)eq\f(1,2)12．如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大？解析：连接OB，设∠AOB＝θ，则AB＝OBsinθ＝20sinθ，OA＝OBcosθ＝20cosθ，且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).∵A，D关于原点对称，∴AD＝2OA＝40cosθ.设矩形ABCD的面积为S，则S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ＝400sin2θ.∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴当sin2θ＝1，即θ＝eq\f(π,4)时，Smax＝400(m2)．此时AO＝DO＝10eq\r(2)(m)．故当A、D距离圆心O为10eq\r(2)m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400m2.13．(2023·北京卷)已知函数f(x)＝sinx－2eq\r(3)sin2eq\f(x,2).(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))上的最小值．解析：(1)因为f(x)＝sinx＋eq\r(3)cosx－eq\r(3)＝2sin