高中数学人教A版第三章函数的应用 课时作业27

课时作业(二十七)已知函数模型与拟合函数模型一、选择题1．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第15年它们发展到()A．300只B．400只C．600只D．700只答案：B解析：将x＝1，y＝100代入y＝alog2(x＋1)，得100＝alog2(1＋1)，解得a＝100，所以x＝15时，y＝100log2(15＋1)＝400.2．某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为()\f(p＋q,2) \f(p＋1q＋1－1,2)\r(pq) \r(p＋1q＋1)－1答案：D解析：设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝eq\r(1＋p1＋q)－1，故选D.3．一个高为H，盛水量为V0的水瓶的轴截面如图所示，现以均匀速度往水瓶中灌水，直到灌满为止，如果水深h时水的体积为V，则函数V＝f(h)的图象大致是()答案：D解析：考察相同的Δh内ΔV的大小比较．4．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为()A．分钟 B．分钟C．分钟 D．分钟答案：B解析：根据图象，把(t，p)的三组数据(3,，(4,，(5,分别代入函数关系式，联立方程组，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1＝9a＋3b＋c，,＝16a＋4b＋c，,＝25a＋5b＋c，))消去c化简，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7a＋b＝，,9a＋b＝－，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－，,b＝，,c＝－2.))所以p＝－＋－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－\f(15,2)t＋\f(225,16)))＋eq\f(45,16)－2＝－eq\f(1,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(15,4)))2＋eq\f(13,16)，所以当t＝eq\f(15,4)＝时，p取得最大值，即最佳加工时间为分钟．5．某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如表：x123…y138…则下面的函数关系式中，能表达这种关系的是()A．y＝2x－1 B．y＝x2－1C．y＝2x－1 D．y＝－＋2答案：D二、填空题6．工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、万件．则此工厂3月份该产品的产量为________万件．答案：解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝＋b，,＝＋b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))∴y＝－2×＋2，把x＝3代入，得y＝.7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的eq\f(3,4)，要使存留的污垢不超过1%，则至少要清洗的次数是________．(lg2≈0)答案：4解析：设至少要洗x次，则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))x≤eq\f(1,100)，∴x≥eq\f(1,lg2)≈，所以需4次．三、解答题8．某工厂今年1月，2月，3月，4月生产某种产品分别为1万件，万件，万件，1.37万件，为了以后估计每个月的产量，以1,2两个月的产品数据为依据．用一个函数模型模拟产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可选用f(x)＝－＋qx＋r或g(x)＝a·＋c，其中q，r，a，c为常数，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？说明理由．解：用g(x)＝a·＋c作为模拟函数较好，理由如下：对于f(x)＝－＋qx＋r，由f(1)＝1，f(2)＝，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－＋q＋r＝1，,4×－＋2q＋r＝，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(q＝，,r＝，))则f(3)＝，f(4)＝；而对于g(x)＝a·＋c，由g(1)＝1，g(2)＝，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1＋c＝1，,＋c＝，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－，,c＝，))则g(3)＝，g(4)＝，所以用g(x)＝a·＋c作为模拟函数较好．9．在某服装批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周降价2元，直到16周周末，该服装已不再销售．(1)试建立价格P(元)与周次t之间的函数关系式；(2)若此服装每周进价Q(元)与周次t之间的关系式为Q＝－(t－8)2＋12，t∈[0,16]，t∈N*，试问该服装第几周销售利润最大？解：(1)当t∈[0,5]时，P＝10＋2t；当t∈(5,10]时，P＝20；当t∈(10,16]时，P＝40－2t.所以P＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10＋2t，t∈[0，5]，,20，t∈5，10]，,40－2t，t∈10，16]))(t∈N*)．(2)由于每件销售利润为售价－进价，即每件销售利润L＝P－Q.所以，当t∈[0,5]时，L＝10＋2t＋(t－8)2－12＝＋6，当t＝5时，L取得最大值；当t∈(5,10]时，L＝20＋(t－8)2－12＝－2t＋16，当t＝5时，L取得最大值；当t∈(10,16]时，L＝40－2t＋(t－8)2－12＝－4t＋36，当t＝10时，L取得最大值.因此，该服装第5周每件销售利润最大．10．据气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v(km/h)与时间t(h)的函数图象如图所示，过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l，梯形OABC在直线l左侧部分的面积即为时间t(h)内沙尘暴所经过的路程s(km)．(1)直接写出v(km/h)关于t(h)的函数关系式；(2)当t＝20h，求沙尘暴所经过的路程s(km)；(3)若N城位于M地的正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由．解：(1)由图可得，v＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t，0≤t≤10，,30，10<t≤20，,－2t＋70，20<t≤35.))(2)当t＝20时，v＝30；∴s＝eq\f(1,2)×(10＋20)×30＝450.即当t＝20时，沙尘暴所经过的路程为450km.(3)由(2)得，当0≤t≤20时，s<650.当20<t≤35时，s＝450＋eq\f([30＋－2t＋70]t－20,2)＝－t2＋70t－550.令－t2＋70t－550＝650，解得t1＝30，t2＝40，∵20<t≤35，∴t＝30.即沙尘暴发生30h后将侵袭到N城．11．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的eq\f(1,4)，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2).(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0<x<1)，则a(1－x)10＝eq\f(1,2)a，即(1－x)10＝eq\f(1,2)，解得x＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,10)).(2)设经过m年剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，则a(1－x)m＝eq\f(\r(2),2)a，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(m,10))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(1,2))，则eq\f(m,10)＝eq\f(1,2)，解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．(3)设从今年开始，以后还能砍n年，则n年后剩余面积为eq\f(\r(2),2)a(1－x)n.令eq\f(\r(2),2)a(1－x)n≥eq\f(1,4)a，即(1－x)n≥eq\f(\r(2),4)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(n,10))≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up15(eq\f(3,2))，则eq\f(n,10)≤eq\f(3,2)，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．尖子生题库12．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，凡多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？解：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋eq\f(60－51,＝550(个)．∴当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元．(2)当0<x≤100时，P＝60；当100<x<550时，P＝60－(x－100)＝62－；当x≥550时，P＝51.∴P＝f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60，0<x≤100，,62－，100<x<550，,51，x≥550))(x∈N*)．(3