高中数学北师大版第三章不等式不等关系 2023版第3章基本不等式

§3基本不等式3．1基本不等式1．了解基本不等式的证明过程及其几何解释．(难点)2．了解算术平均数，几何平均数的定义．(重点)3．会用基本不等式推出与基本不等式有关的简单不等式．(重点)[基础·初探]教材整理基本不等式阅读教材P88～P89阅读材料以上部分，完成下列问题．1．基本不等式如果a，b都是非负数，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立，称上述不等式为基本不等式，其中eq\f(a＋b,2)称为a，b的算术平均数，eq\r(ab)称为a，b的几何平均数，该不等式又被称为均值不等式．2．基本不等式的文字叙述两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．3．意义(1)几何意义：半径不小于半弦．(2)数列意义：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．()(2)不等式a2＋b2≥2ab中等号成立的条件是a＝b.()(3)eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)与a2＋b2≥2ab这两个不等式成立的条件是相同的．()【解析】(1)应为任意两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)a2＋b2＝2ab，即(a－b)2＝0，∴a＝b.(3)eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)中a、b∈R＋，a2＋b2≥2ab中a、b∈R.【答案】(1)×(2)√(3)×[小组合作型]利用基本不等式比较大小已知M＝eq\f(3x＋3y,2)，N＝(eq\r(3))x＋y，P＝3eq\r(xy)(其中，0＜x＜y)，试比较M、N、P之间的大小．【精彩点拨】根据基本不等式的条件和指数函数的单调性判断大小．【尝试解答】eq\f(3x＋3y,2)≥eq\f(2\r(3x·3y),2)＝eq\r(3x＋y)＝(eq\r(3))x＋y，又0＜x＜y，上式“＝”不成立，∴eq\f(3x＋3y,2)＞(eq\r(3))x＋y，即M＞N.即N＞P，∴M＞N＞P.利用基本不等式比较两个数(式)的大小，就是把数(式)适当的放大或缩小，达到比较的目的，在放缩的过程中，要结合不等式的传递性，即要保证不等号同方向．[再练一题]1．如果0＜a＜b＜1，P＝logeq\f(1,2)eq\f(a＋b,2)，Q＝eq\f(1,2)(logeq\f(1,2)a＋logeq\f(1,2)b)，M＝eq\f(1,2)logeq\f(1,2)(a＋b)，试比较P，Q，M之间的大小．【解】因为P＝logeq\f(1,2)eq\f(a＋b,2)，Q＝eq\f(1,2)(logeq\f(1,2)a＋logeq\f(1,2)b)＝logeq\f(1,2)eq\r(ab)，M＝eq\f(1,2)logeq\f(1,2)(a＋b)＝logeq\f(1,2)eq\r(a＋b)，所以只需比较eq\f(a＋b,2)，eq\r(ab)，eq\r(a＋b)的大小．显然eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab)，又因为eq\f(a＋b,2)＜eq\r(a＋b)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(由a＋b＞\f(a＋b2,4)也就是\f(a＋b,4)＜1可得))所以eq\r(a＋b)＞eq\f(a＋b,2)＞eq\r(ab).而y＝logeq\f(1,2)x为(0，＋∞)上的减函数，故Q＞P＞M.含条件的不等式证明已知，a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，求证：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.【精彩点拨】巧妙利用a＋b＋c＝1，用a＋b＋c去乘式子eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))后展开，便可构造出基本不等式的模型进而可证明不等式．【尝试解答】因为a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))(a＋b＋c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,3)时等号成立，故eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)≥9.不等式证明问题可考虑使用基本不等式，运用时注意对要证的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后进行证明，同时要注意基本不等式成立的条件．[再练一题]2．已知a、b、c为不等正数，且abc＝1，求证：eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)＜eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c). 【导学号：47172038】【证明】eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))·abc＝bc＋ac＋ab＝eq\f(bc＋ac,2)＋eq\f(ab＋ac,2)＋eq\f(bc＋ab,2)＞eq\r(abc2)＋eq\r(a2bc)＋eq\r(ab2c)＝eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c).[探究共研型]基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的几何解释图3­3­1如图3­3­1，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.你能利用这个图形得出基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的几何解释吗？探究1如何用a、b表示PQ、OP的长度？【提示】由射影定理可知PQ＝eq\r(ab)，而OP＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(a＋b,2).探究2通过线段OP与PQ的大小关系，你能得出怎样的不等式？【提示】半径OP＝eq\f(a＋b,2)，显然，它大于或等于PQ，即eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，其中当且仅当点Q与圆心O重合，即a＝b时等号成立．已知a、b、c＞0，求证：a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca).【精彩点拨】利用基本不等式证明．【尝试解答】∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2eq\r(ab)，b＋c≥2eq\r(bc)，a＋c≥2eq\r(ac)，∴2(a＋b＋c)≥2(eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ac))，即a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ac)，当且仅当a＝b＝c时等号成立．在利用基本不等式证明的过程中，常需把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．[再练一题]3．已知a、b、c都是正数，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.【证明】因为a、b、c都是正数，所以a＋b≥2eq\r(ab)，a＋c≥2eq\r(ac)，b＋c≥2eq\r(bc)，∴(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥2eq\r(ab)·2eq\r(bc)·2eq\r(ac)＝8abc，当且仅当a＝b＝c时等号成立．1．x2＋y2＝4，则xy的最大值是()\f(1,2) B．1C．2 D．4【解析】x2＋y2＝4≥2xy，∴xy≤2.【答案】C2．已知等比数列{an}各项均为正数，公比q≠1，设P＝eq\f(a2＋a9,2)，Q＝eq\r(a4·a7)，则P与Q的大小关系是()A．P＜Q B．P＞QC．P＝Q D．无法确定【解析】由等比数列，得Q＝eq\r(a4a7)＝eq\r(a2a9)，而P＝eq\f(a2＋a9,2)，且a2＞0，a9＞0，q≠1，a2≠a9，∴eq\f(a2＋a9,2)＞eq\r(a2a9)，即P＞Q.选B.【答案】B3．不等式a2＋1≥2a【解析】当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0时“＝”成立，此时a＝1.【答案】a＝14．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________．①eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)；②a－b≥2eq\r(ab)；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab.【解析】根据eq\f(a2＋b2,2)≥ab