2021-2022学年安徽省合肥市造甲中学高二数学文期末试题含解析

2021-2022学年安徽省合肥市造甲中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.点()在圆的内部，则的取值范围是

A．－1<<1

B．0<<1

C．–1<<

D．－<<1参考答案：D略2.设袋中有60个红球，10个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略3.设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,n=(

)A．6

B．7

C．8

D．9参考答案：A4.设偶函数满足，则A.

B.C.

D.参考答案：D5.若，则复数在复平面上对应的点在A.第一象限

B.第二象限

C.

第三象限

D.第四象限参考答案：D6.在长方体的六个面中，与其中一个面垂直的面共有

A．1个

B．2个

C．3个

D.4个参考答案：D7.设，则“3，m，27”为等比数列是“m=9”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B8.圆的圆心坐标和半径分别为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略9.

参考答案：C略10.下面几种推理中是演绎推理的序号为

（

）

A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；

B．猜想数列的通项公式为；

C．半径为圆的面积，则单位圆的面积；

D．由平面直角坐标系中圆的方程为，推测空间直角坐标系中球的方程为

．参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则

．参考答案：，.

12.已知正数a,b满足3ab+a+b=1,则ab的最大值是

参考答案：13.在三棱椎P-ABC中，底面ABC是等边三角形，侧面PAB是直角三角形，且，，则该三棱椎外接球的表面积为__________．参考答案：12π由于PA＝PB，CA＝CB，PA⊥AC，则PB⊥CB，因此取PC中点O，则有OP＝OC＝OA＝OB，即O三棱锥P－ABC外接球球心，又由PA＝PB＝2，得AC＝AB＝，所以PC＝，所以．点睛：多面体外接球，关键是确定球心位置，通常借助外接的性质—球心到各顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构成直角三角形，利用勾股定理求出半径，如果图形中有直角三角形，则学借助于直角三角形的外心是斜边的中点来确定球心．14.曲线在点处的切线的方程为

参考答案：y=15.已知圆方程为：，圆的方程为：，动圆M与外切且与内切，则动圆圆心M的轨迹方程是_________________参考答案：16.数列……的前100项的和等于

。

参考答案：略17.边长为a的等边三角形内一点到三边的距离之和为定值，这个定值为

，推广到空间，棱长为a的正四面体内任一点到各个面距离之和为

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆的上顶点B到两焦点的距离和为4，离心率（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点A为椭圆C的右顶点，过点A作相互垂直的两条射线，与椭圆C分别交于不同的两点M，N（M，N不与左、右顶点重合），试判断直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．参考答案：【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由利用已知条件列出，求解可得椭圆方程．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，推出直线MN过点，当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，由方程组，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△＞0，得到4k2﹣m2+1＞0，利用韦达定理，结合AM⊥AN，椭圆的右顶点为（2，0），通过（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，求解当时，直线l的方程过定点，推出结果．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，解得，所以椭圆的标准方程是，（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，△MNA为等腰直角三角形，∴|y1|=|2﹣x1|，又，解得：，此时，直线MN过点，当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，由方程组，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0，则，由已知AM⊥AN，且椭圆的右顶点为（2，0），所以（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，，所以，即，整理得5m2+16km+12k2=0，解得：m=﹣2k或，均满足△＞0，当m=﹣2k时，直线l的方程y=kx﹣2k过顶点（2，0），与题意矛盾舍去，当时，直线l的方程过定点，故直线过定点，且定点是．19.已知等差数列的前n项和为，，(I) 求数列的通项公式；(II)若，求数列的前100项和．参考答案：（1）由及得，---------2分解得，---------------------------------------4分所以，-----------------------------------------6分（2）=，----------------------------------------8分从而有.数列的前100项和为----------------------------12分20..“每天锻炼一小时，健康工作五十年，幸福生活一辈子.”一科研单位为了解员工爱好运动是否与性别有关，从单位随机抽取30名员工进行了问卷调查，得到了如下列联表：

男性女性合计爱好10

不爱好

8

合计

30

已知在这30人中随机抽取1人抽到爱好运动的员工的概率是.（1）请将上面的列联表补充完整（在答题卷上直接填写结果，不需要写求解过程），并据此资料分析能否有把握认为爱好运动与性别有关？（2）若从这30人中的女性员工中随机抽取2人参加一活动，记爱好运动的人数为X，求X的分布列、数学期望.参考数据：0.100.050.0250.010.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案：（1）没有把握认为爱好运动与性别有关；（2）.【分析】（1）由题可算出爱好运动的人，即可完成列表，再利用公式求得即可得出结果；（2）典型的超几何分布，利用公式求得概率，列出分布列，求得期望.【详解】（1）

男性女性合计爱好10616不爱好6814合计161430

由已知数据可求得：，所以没有把握认为爱好运动与性别有关．（2）的取值可能为0，1，2，，，.所以的分布列为：012

的数学期望为.21.如图，边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度（小于180°）到ABEF的位置．（1）若∠CBE=120°，求三棱锥B﹣ADF的外接球的表面积；（2）若K为线段BE上异于B，E的点，CE=2．设直线AK与平面BDF所成角为φ，当30°≤φ≤45°时，求BK的取值范围．参考答案：（1）三棱锥B﹣ADF的外接球就是三棱柱DFA﹣CEB的外接球，球的半径为R，R==，外接球的表面积为：4πR2=20π．（2）解：∵BE=BC=2，CE=2，∴CE2=BC2+BE2，∴△BCE为直角三角形，BE⊥BC，…又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA?平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD．…以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2，0），=（2，2，0），．设K（0，0，m），平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．由，，得，可取，…又=（0，﹣2，m），于是sinφ==，∵30°≤φ≤45°，∴sinφ，即…结合0＜m＜2，解得，即BK的取值范围为（0，]．…考点：直线与平面所成的角；球的体积和表面积．专题：计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）求出外接球的半径，利用取得面积公式求解即可．（2）证明BE⊥平面ABCD．=以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，求出相关点的坐标，求出平面BDF的一个法向量为=（x，y，z）．推出sinφ==，结合sinφ，即求出BK的取值范围．解答：解：（1）三棱锥B﹣ADF的外接球就是三棱柱DFA﹣CEB的外接球，球的半径为R，R==，外接球的表面积为：4πR2=20π．（2）解：∵BE=BC=2，CE=2，∴CE2=BC2+BE2，∴△BCE为直角三角形，BE⊥BC，…又BE⊥BA，BC∩BA=B，BC、BA?平面ABCD，∴BE⊥平面ABCD．…以B为原点，BC、BA、BE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），F（0，2，2），A（0，2