高中数学人教A版本册总复习总复习 2023版第1章分段函数及映射

第2课时分段函数及映射1．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．(重点、难点)2．了解映射的概念．(易混点)[基础·初探]教材整理1分段函数阅读教材P21例5、例6～P22第一段，完成下列问题．如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3，x<－1，,x2，－1≤x≤1，,x，x>1，))则f(f(f(－2)))＝________.【解析】因为－2<－1，所以f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，又－1≤－1≤1，所以f(f(－2))＝f(－1)＝(－1)2＝1，又因为－1≤1≤1，所以f(f(f(－2)))＝f(1)＝12＝1.【答案】1教材整理2映射阅读教材P22第二段～P23“思考”，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数都是映射，映射不一定都是函数．()(2)在映射的定义中，对于集合B中的任意一个元素在集合A中都有一个元素与之对应．()(3)从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射是同一个映射．()【解析】(1)√.当映射中的集合是数集时，该映射就是函数，否则不是函数．(2)×.映射可以是“多对一”，但不可以是“一对多”．(3)×.从集合A到集合B的映射与从集合B到集合A的映射不是同一个映射．【答案】(1)√(2)×(3)×[小组合作型]映射的概念及应用(1)下列对应关系：①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→eq\r(x)；②A＝R，B＝R，f：x→eq\f(1,x)；③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方．其中是A到B的映射的是()A．①③ B．②④C．③④ D．②③(2)设集合A＝{(0,1)，(1,0)}，集合B＝{0,1,2}，则从A到B的映射共有()A．3个 B．6个C．8个 D．9个【精彩点拨】(1)紧扣映射概念中的“任意一个”“唯一”即可判断．(2)根据映射的定义计算．【自主解答】(1)对于①，集合A中的1,4,9在集合B中都有两个元素与它对应，故不是映射；对于②，集合A中的元素0在集合B中没有元素对应，故不是映射；对于③，集合A中的元素x∈R在集合B中都有唯一的元素x2－2与它对应，故是映射；对于④，集合A中的－1,0,1在集合B中都有唯一的元素与它对应，故是映射；其中是A到B的映射的是③④.故选C.(2)∵集合A＝{(0,1)，(1,0)}有2个元素，集合B＝{0,1,2}有3个元素，所以A中的元素都对应B中的0,1,2的映射分别各有一个，共3个；A中的元素和B中的元素一一对应的映射共有6个，∴从A到B的映射共有9个．故选D.【答案】(1)C(2)D判断一个对应是否是映射，关键看两点1．对于集合A中的任意一个元素，在B中是否有元素对应．2．B中的对应元素是否唯一．注意：映射可以是“一对一”或“多对一”的对应，但不能是“一对多”．[再练一题]1．若集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，则下列对应法则中不能从P到Q建立映射的是() 【导学号：97030038】A．y＝eq\f(2,3)x B．y＝eq\f(1,8)xC．y＝eq\f(1,3)x D．y＝eq\f(1,2)x【解析】在y＝eq\f(2,3)x中，在P中取x＝4，在Q中没有y＝eq\f(8,3)与之相对应，∴在y＝eq\f(2,3)x这个对应法则中不能从P到Q建立映射．故选A.【答案】A分段函数的求值问题(1)函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤1,－x＋3，x>1，))则f(f(4))＝________.(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4，0≤x≤2,2x，x>2，))若f(x0)＝8，则x0＝________.【导学号：97030039】【精彩点拨】(1)先求出f(4)，然后根据f(4)的大小关系判断对应法则，即可求解；(2)分两种情况把x0代入，解方程可得x0的值．【自主解答】(1)∵4＞1，∴f(4)＝－4＋3＝－1，∵－1≤1，∴f(－1)＝0，即f(f(4))＝0.(2)∵函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4，0≤x≤2,2x，x>2，))f(x0)＝8，当0≤x0≤2时，由xeq\o\al(2,0)－4＝8，求得x0无解．当x0＞2时，由2x0＝8，求得x0＝4.综上，x0＝4.【答案】(1)0(2)41．已知自变量求函数值(1)先看自变量的取值范围；(2)代入相应的解析式求值．2．已知函数值求自变量(1)先对取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式中；(2)通过解方程求出相应的值，并检验所求值是否在所讨论的区间内．[再练一题]2．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10,ffx＋5，x<10，))则f(7)＝________.【解析】∵函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10,ffx＋5，x<10，))∴f(7)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(14))＝f(11)＝8.【答案】8[探究共研型]分段函数的图象及应用探究1函数f(x)＝|x－2|能用分段函数的形式表示吗？【提示】能．如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥2,2－x，x<2.))探究2画出函数f(x)＝|x－2|的图象．【提示】由探究1可知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2，x≥2,2－x，x<2.))分段画出函数f(x)的图象如图所示．已知函数f(x)＝1＋eq\f(|x|－x,2)(－2<x≤2)．(1)用分段函数的形式表示f(x)；(2)画出f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域．【精彩点拨】(1)分－2<x<0和0≤x≤2两种情况讨论去掉绝对值可把f(x)写成分段函数的形式；(2)利用(1)的结论可画出图象；(3)由(2)中得到的图象，找到图象最高点和最低点的纵坐标，可得值域．【自主解答】(1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋eq\f(x－x,2)＝1，当－2<x<0时，f(x)＝1＋eq\f(－x－x,2)＝1－x.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，0≤x≤2,1－x，－2<x<0.))(2)函数f(x)的图象如图所示．(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．[再练一题]3．已知函数y＝f(x)的图象由图1­2­4中的两条射线和抛物线的一部分组成，求函数的解析式.【导学号：97030040】图1­2­4【解】根据图象，设左侧的射线对应的函数解析式为y＝kx＋b(x<1)．∵点(1,1)，(0,2)在射线上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＋b＝1,b＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝－1,b＝2，))∴左侧射线对应的函数的解析式为y＝－x＋2(x<1)．同理，x>3时，函数的解析式为y＝x－2(x>3)．再设抛物线对应的二次函数解析式为y＝a(x－2)2＋2(1≤x≤3，a<0)．∵点(1,1)在抛物线上，∴a＋2＝1，a＝－1.∴1≤x≤3时，函数的解析式为y＝－x2＋4x－2(1≤x≤3)．综上可知，函数的解析式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋2，x<1,－x2＋4x－2，1≤x≤3,x－2，x>3.))1．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥0,1，x<0，))则f(f(－1))＝()A．3 B．1C．0 D．－1【解析】∵f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥0,1，x<0，))∴f(f(－1))＝f(1)＝1＋2＝3.故选A.【答案】A2．设集合A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}，从A到B的对应法则f不是映射的是()A．f：x→y＝eq\f(1,2)x B．f：x→y＝eq\f(1,3)xC．f：x→y＝eq\f(1,4)x D．f：x→y＝eq\f(1,6)x【解析】由f：x→y＝eq\f(1,2)x中x＝6时，y＝3.不在集合B中．【答案】A3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1x≤0,－2xx>0，))使函数值为5的x的值是()【导学号：97030041】A．－2 B．2或－eq\f(5,2)C．2或－2 D．2或－2或－eq\f(5,2)【解析】当x≤0时，f(x)＝x2＋1＝5，得x＝－2，或x＝2(舍去)．当x＞0时，f(x)＝－2x＝5，得x＝－eq\f(5,2)(舍去)．综上可知，x＝－2.故选A.【答案】A4．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.【解析】由f(2)＝3，可知2a－1＝3，∴a＝2，∴f(3)＝3a－1＝3