黑龙江省绥化市北辰高级中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析

黑龙江省绥化市北辰高级中学2021-2022学年高三数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图是函数的部分图象，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，给出下列四个命题：①函数f（x）的表达式为；②g（x）的一条对称轴的方程可以为；③对于实数m，恒有；④f（x）+g（x）的最大值为2．其中正确的个数有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个参考答案：B【分析】先根据图象确定函数的解析式，结合函数图像的对称性和辅助角公式进行化简分析即可．【详解】由图象知，A＝2，，即T＝π，则＝π，得ω＝2，由五点对应法得，则f（x）＝2sin（2x+），故①正确，当x＝时，f（）＝2sinπ＝0，则函数关于x＝不对称，故③错误，将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，即g（x）＝2sin[2（x﹣）+]＝2sin2x，当时，g（﹣）＝2sin（）＝﹣2为最小值，则是函数g（x）的一条对称轴，故②正确，f（x）+g（x）＝2sin（2x+）+2sin2x＝2sinxcos+2cos2xsin+2sin2x＝3sin2x+cos2x＝2sin（2x+），则f（x）+g（x）的最大值为2，故④错误，故正确的是①②，故选：B．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及三角函数的解析式以及三角函数的性质，求出函数的解析式以及利用三角函数的对称性是解决本题的关键．

2.下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）A．y=log2（x+5） B． C．y=﹣ D．y=﹣x参考答案：A【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接判断函数的单调性即可．【解答】解：y=log2（x+5）在区间（0，+∞）上为增函数，满足题意．在区间（0，+∞）上为减函数，不满足题意．y=﹣在区间（0，+∞）上为减函数，不满足题意．y=﹣x区间（0，+∞）上是减数函数，不满足题意．故选：A．【点评】本题考查函数的单调性的判断与应用，是基础题．3.已知函数①②；③；④。其中对于定义域内的任意一个自变量，都存在唯一的自变量，使

成立的函数为

A．①③④

B．②④

C．①③

D．③参考答案：D4.在中，角的对边分别为，则“”是“是等腰三角形”的（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件参考答案：A若，由正弦定理得，即，所以，即，所以，即，所以是等腰三角形。若是等腰三角形，当时，不一定成立，所以“”是“是等腰三角形”的充分不必要条件，选A.5.点为双曲线：和圆：的一个交点，且，其中为双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C6.已知P(x,y)为椭圆上一点,F为椭圆C的右焦点,若点M满足且,则的最小值为(

)A.

B.3

C.

D.1参考答案：A7.（5分）过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（）A．B．2C．D．2参考答案：D【考点】：直线的倾斜角；直线和圆的方程的应用．【专题】：计算题．【分析】：本题考查的知识点是直线与圆方程的应用，由已知圆x2+y2﹣4y=0，我们可以将其转化为标准方程的形式，求出圆心坐标和半径，又直线由过原点且倾斜角为60°，得到直线的方程，再结合半径、半弦长、弦心距满足勾股定理，即可求解．解：将圆x2+y2﹣4y=0的方程可以转化为：x2+（y﹣2）2=4，即圆的圆心为A（0，2），半径为R=2，∴A到直线ON的距离，即弦心距为1，∴ON=，∴弦长2，故选D．【点评】：要求圆到割线的距离，即弦心距，我们最常用的性质是：半径、半弦长（BE）、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，求出半径和半弦长，代入即可求解．8.设,则使得为奇函数,且在上单调递减的的个数是(

)

A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：A9.已知函数，若对任意，总存在，使，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.参考答案：C【分析】求出两个函数的值域，结合对任意，总存在，使，等价为的值域是值域的子集，利用数形结合进行转化求解即可．【详解】对任意，则，即函数的值域为，若对任意，总存，使，设函数值域为A，则满足，即可，当时，函数减函数，则此时，当时，，①当时，（红色曲线），即时，满足条件，②当时，此时，要使成立，则此时，此时满足（蓝色曲线），即，得，综上或，故选：C．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的值域，转化为的值域是值域的子集，利用数形结合是解决本题的关键．10.设函数，则=（

）A.13

B.19 C.37

D.49参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.给出下列四个命题：①“”是“”的必要不充分条件；②若，则函数只有一个零点；③函数的一个单调增区间是；④对于任意实数，有，且当时，，则当时，．其中真命题的序号是（把所有真命题的序号都填上）．参考答案：①③④12.方程在上有四个不同的根，则___________．参考答案：4略13.函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数．例如，函数是单函数．下列命题：①函数是单函数；②函数是单函数；③若为单函数，且，则；④函数在定义域内某个区间上具有单调性，则一定是单函数．其中的真命题是_________．(写出所有真命题的编号)参考答案：③14.已知抛物线的准线经过双曲线的右焦点，则此双曲线的离心率为

.参考答案：15.若曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为

参考答案：（1，0）16.已知椭圆C1与双曲线C2有相同的焦点F1、F2，点P是C1与C2的一个公共点，是一个以PF1为底的等腰三角形，C1的离心率为则C2的离心率为

参考答案：3

略17.已知点A（﹣1，1）、B（0，3）、C（3，4），则向量在方向上的投影为．参考答案：2【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】首先分别求出，的坐标，然后利用向量的数量积公式求投影．【解答】解：由已知得到=（1，2），=（4，3），所以向量在方向上的投影为==2；故答案为：2．【点评】本题考查了有向线段的坐标表示以及利用向量的数量积求向量的投影；属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=|x﹣a|．（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若?x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）若不等式f（x）≤2的解集为[0，4]，可得，即可求实数a的值；（Ⅱ）根据第一步所化出的分段函数求出函数f（x）的最小值，若?x0∈R，使得f（x0）+f（x0+5）﹣m2＜4m成立，只需4m+m2＞fmin（x），解出实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵|x﹣a|≤2，∴a﹣2≤x≤a+2，∵f（x）≤2的解集为[0，4]，∴，∴a=2．（Ⅱ）∵f（x）+f（x+5）=|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，∵?x0∈R，使得，即成立，∴4m+m2＞[f（x）+f（x+5）]min，即4m+m2＞5，解得m＜﹣5，或m＞1，∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣5）∪（1，+∞）．19.已知函数（）.（Ⅰ）若函数的图象在点P（1，）处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；（Ⅱ）若存在，使，求a的取值范围．参考答案：解：（I）

………….……………1分 根据题意，

…3分

此时，,则.

令-+↘↗………………………….6分

∴当时，最小值为.………7分

（II） ①若上单调递减. 又 …………..10分

综上，的取值范围是.

略20.（本小题满分12分）已知函数(为实常数).(1)当时,求函数在上的最大值及相应的值;(2)当时,讨论方程根的个数.(3)若,且对任意的,都有,求实数a的取值范围.参考答案：(1),当时,.当时,,又,故,当时,取等号

(2)易知,故,方程根的个数等价于时,方程根的个数.设=,当时,,函数递减,当时,,函数递增.又,,作出与直线的图像,由图像知:当时,即时,方程有2个相异的根;当或时,方程有1个根;当时,方程有0个根;

(3)当时,在时是增函数,又函数是减函数,不妨设,则等价于即,故原题等价于函数在时是减函数,恒成立,即在时恒成立.在时是减函数

21.(本题满分12分)若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数．（Ⅰ）证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；（Ⅱ）设（Ⅰ）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记，求数列的前项和，并求使的的最小值．参考答案：（Ⅰ）由题意得：，即，则是“平方递推数列”．

……………2分对两边取对数得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列．………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知

……………5分

……8分(Ⅲ）

………………9分

……10分又，即

…11分又，所以．

…………………12分22.已知函数f（x）=sinxcosx+sin2x+（x∈R）．（Ⅰ）当x∈[﹣，]时，求f（x）的最大值．（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=，f（C）=2，sinB=2sinA，求a．参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【专题】方程思想；综合法；三角函数的求值；解三角形．【分析】（Ⅰ）化简函数f（x）为正弦型函数，根据x∈[﹣，]，求出2x﹣的范围，从而求出f（x）的最大值；（Ⅱ）根据f（C）=2求出C的值，再由正弦、余弦定理，即可求出a的值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=sinxcosx+sin2x+=sin2x++=sin2x﹣cos2x+1=sin（2x﹣）+1（x∈R），当x∈