黑龙江省哈尔滨市国联中学2022年高三数学理月考试题含解析

黑龙江省哈尔滨市国联中学2022年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.

B．

C．

D．

参考答案：D略2.设Sn是公差为的无穷等差数列的前n项和，则“d<0”是“数列有最大项”的A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：A略3.在复平面内，复数对应的点的坐标为(－3,1)，则z在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：B设，∴，∴在复平面内对应的点位于第二象限．4.已知，设函数若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围为A.[0,1]

B.[0,2]

C.[0,e]

D.[1,e]参考答案：C∵，即，（1）当时，，当时，，故当时，在上恒成立；若上恒成立，即在上恒成立，令，则，当函数单增，当函数单减，故，所以。当时，在上恒成立；综上可知，的取值范围是，故选C.

5.函数的图象大致是()参考答案：C函数为奇函数，图象关于原点对称，排除B.在同一坐标系下做出函数的图象，由图象可知函数只有一个零点0，所以选C.6.已知等比数列中，公比若则

有（

）(A)最小值-4

(B)最大值-4

(C)最小值12

(D)最大值12参考答案：C略7.

函数图象的大致形状是(

)参考答案：B，为奇函数，令，则，选.8.已知集合，，则M∪N（

）A. B.C. D.参考答案：A【分析】化简集合，进而求并集即可.【详解】由题意可得，，所以，故选：A.【点睛】本题考查集合的并集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.9.复数的共轭复数为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B考点：复数的运算，复数的概念．10.如右图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，

4647七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的平均数和方差分别为（

）A.84,

4.84

B.84,1.6

C.85，4

D.85，1.6参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=，若a，b，c，d是互不相等的实数，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+d的取值范围为

．参考答案：（4，2017）【考点】分段函数的应用．【分析】作出函数f（x）的图象，令直线y=t与f（x）的图象交于四个点，其横坐标由左到右依次为a，b，c，d，则由图象可得，b+c=2，log2015（d﹣1）=（）a﹣1=t，由于0＜t＜1，即可求得a，d的范围，从而得到a+b+c+d的范围．【解答】解：作出函数f（x）的图象，令直线y=t与f（x）的图象交于四个点，其横坐标由左到右依次为a，b，c，d则由图象可得，b+c=2，log2015（d﹣1）=（）a﹣1=t，由于0＜t＜1，则得到﹣1＜a＜0，2＜d＜2016，则2＜a+d＜2015，即有4＜a+b+c+d＜2017，故答案为：（4，2017）．12.方程cos2x+sinx=1在上的解集是_______________．参考答案：13.设直线与圆相交于，两点，且弦的长为，则实数的值是

.参考答案：14.给定两个长度为1的平面向量，它们的夹角为，如图所示，点C在以为圆心的圆弧AB上运动，若，其中，则的最大值是

▲

.参考答案：15.在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），则圆心C到直线l距离为

．参考答案：考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：首先把圆的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步转换成标准形式，再把直线的参数方程转换为直角坐标方程，最后利用点到直线的距离公式求出结果．解答： 解：圆C的方程为ρ=2，转化为：ρ=2sinθ+2cosθ，进一步转化为直角坐标方程为：x2+y2=2x+2y，转化为标准形式为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2所以：该曲线是以（1，1）为圆心，为半径的圆．直线l的参数方程为（t为参数），转化为直角坐标方程为：2x﹣y+1=0．所以：圆心到直线的距离为：d=．故答案为：点评：本题考查的知识要点：极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与直角坐标方程的互化，点到直线间的距离公式的应用．主要考查学生的应用能力．16.已知下图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为___________。

参考答案：

17.已知，则_▲_.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率．以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8，面积为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P（x0，y0）为椭圆C上一点，直线l的方程为3x0x+4y0y﹣12=0，求证：直线l与椭圆C有且只有一个交点．参考答案：【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由4a=8，即，b2+c2=4，即可求得b和c的值，由．即可求得，c=1，即可椭圆的方程；（Ⅱ）分类讨论：当y0=0时，即可求得x0=±2，即可求得直线与曲线的交点；当y0≠0时，则直线l的方程为，代入椭圆方程，由点P（x0，y0）为曲线C上一点，解得x=x0，代入直线方程，y=y0，故直线l与曲线C有且有一个交点P．【解答】解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为，焦距为2c，由题设条件知，4a=8，a=2，，b2+c2=a2=4，所以，c=1，或b=1，（经检验不合题意舍去），故椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：当y0=0时，由，可得x0=±2，当x0=2，y0=0时，直线l的方程为x=2，直线l与曲线C有且只有一个交点（2，0）．当x0=﹣2，y0=0时，直线l的方程为x=﹣2，直线l与曲线C有且只有一个交点（﹣2，0）．当y0≠0时，直线l的方程为，联立方程组，消去y，得．①由点P（x0，y0）为曲线C上一点，得，可得．于是方程①可以化简为，解得x=x0，将x=x0代入方程可得y=y0，故直线l与曲线C有且有一个交点P（x0，y0），综上，直线l与曲线C有且只有一个交点，且交点为P（x0，y0）．19.（2016?湘潭一模）某中学选取20名优秀同学参加2015年英语应用知识竞赛，将他们的成绩（百分制）（均为整数）分成6组后，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题．（1）从频率分布直方图中，估计本次考试的高分率（大于等于80分视为高分）；（2）若从20名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在[40，70）记0分，在[70，100）记1分，用x表示抽取结束后的总记分，求X的分布列和数学期望．参考答案：【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）根据频率分布直方图，计算本次考试大于等于80分的频率即可；（2）根据学生成绩在[40，70）和[70，100]的人数，确定X的可能取值；计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值．【解答】解：（1）根据频率分布直方图，计算本次考试的高分率（大于等于80分视为高分）为（0.025+0.005）×10=0.3；∴估计本次考试的高分率为30%；（2）学生成绩在[40，70）的有0.4×60=24人，在[70，100]的有0.6×60=36人，并且X的可能取值是0，1，2；则P（X=0）==；P（X=1）==；P（X=2）==；所以X的分布列为X012P数学期望为EX=0×+1×+2×==1.2．【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望的应用问题，解题时要注意运算严谨，避免运算出错导致解题失败．20.设f（x）=|x﹣1|+|x+1|．（1）求f（x）≤x+2的解集；（2）若不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，求实数x的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）运用绝对值的含义，对x讨论，分x≥1，﹣1＜x＜1，x≤﹣1，去掉绝对值，得到不等式组，解出它们，再求并集即可得到解集；（2）运用绝对值不等式的性质，可得不等式右边的最大值为3，再由不等式恒成立思想可得f（x）≥3，再由去绝对值的方法，即可解得x的范围．【解答】解：（1）由f（x）≤x+2得：或或，即有1≤x≤2或0≤x＜1或x∈?，解得0≤x≤2，所以f（x）≤x+2的解集为[0，2]；

（2）=|1+|﹣|2﹣|≤|1++2﹣|=3，当且仅当（1+）（2﹣）≤0时，取等号．由不等式f（x）≥对任意实数a≠0恒成立，可得|x﹣1|+|x+1|≥3，即或或，解得x≤﹣或x≥，故实数x的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21.

如图，三棱柱ABC-

的侧棱平面ABC，△ABC为等边三角形，侧面是正方形，E是的中点，F是棱上的点．

(I）若F是棱中点时，求证：AE平面；(Ⅱ)当时，求正方形的边长．参考答案：【解】（Ⅰ）取的中点为，连接,是的中点,是棱中点,∥,,,则四边形是平行四边形，,又因为为正三角形，侧面是正方形,,所以,,因为侧棱⊥平面，所以，,，所以,又因为，，所以平面.…6分（Ⅱ）设正方形的边长为由于E是的中点，△EAB的面积为定值。∥平面，点F到平面的距离为定值即为点C到平面平面的距离

又，且=即，所以正方形的边长为6.…12分略22.已知实数数列{an}满足：a1=3，an=（an﹣1+2），n≥2，证明：当n≥2时，{an}是单调减数列．参考答案：【考点】数列的函数特性．【分析】利用作