高中数学人教A版2第二章推理与证明单元测试【全国一等奖】

2.2直接证明与间接证明第一课时综合法一、课前准备1．课时目标（1）结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：综合法；（2）了解综合法的思考过程、特点；（3）能够利用综合法证明一些相关等式或不等式。2．基础预探（1）直接证明：直接从逐步推得命题成立的证明方法称为直接证明。（2）直接证明的形式为通过①②③④直接推出结论。（3）综合法:一般地，利用和某些已经学过的等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。（4）综合法的思维特点是：，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法（5）用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论，则用综合法证明命题的逻辑关系是：二、学习引领综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，综合法表现为由因导果，是寻求解题思路的基本思考方法，应用十分广泛.三、典例导析题型一用综合法来证明等式例1.已知数列中，是它的前项和，并且（1，2，…），。设（1，2，…），求证：数列是等比数列。思路导析:观察题设条件中数列之间的相互关系，着眼于问题的合理转化。解：（1）∵，∴，两式相减得（1，2，…），即，变形得。∵（1，2，…），∴，由此可知，数列是公比为2的等比数列；由，，得，。故。所以数列是等比数列。规律总结:本题从已知条件入手，分析数列间的相互关系，合理实现了数列间的转化，从而使问题获解。综合法是直接证明中最常用的表述方法。变式练习1在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为,且A,B,C成等差数列,成等比数列,求证△ABC为等边三角形.题型二用综合法证明不等式例2.已知、、是不全相等的正数，且。求证：思路导析:分析思维通常采用分析法多，这是因为分析法目标明确，追求充分条件。要证明，只需要证明，由已知，只需证明。证明：由公式知，，，∵、、不全相等，上面三式相乘，，即成立，∴成立。规律总结:应用综合法可以使证明过程表述于简短的形式，所以非常适宜于叙述证明。但用综合法论证命题时，必须首先想到从哪里开始起步，而这一点正是我们所感到困难的。变式练习2已知求证题型三用综合法证明几何问题例3如图所示，正四棱锥棱长均为13，，分别是，上的点，且．（1）求证：直线平面；（2）求直线与底面所成角的正弦．思路导析:（1）要证明平面，根据线面平行的判定定理，需证明与平面内某一条直线平行．为此连并延长交于，连．需证明即可．（2）若能证明，则即为直线与底面所成的角．证明：（1）连并延长交于，再连．∵，∴，又，∴，∴，又平面，平面，∴平面．（2）设为底面中心，连，，则平面．又，则为直线与平面所成的角．由及，得，在△中，，，，由余弦定理，得．在△中，，，则．规律总结:在立体几何证明中，若要证明线面平行，则可转化为证明线线平行，证明线线平行，多利用三角形的中位线，补形，相似比来证明。在这种证明中，充分利用综合法，确实是一种分析问题、解决问题的有效方法。变式练习3如图，在三棱锥中，底面，，、分别是和的中点，为上一点，且，．求证：平面。四、随堂练习一、选择题1．已知正六边形，在下列表达式①；②；③；④中，与等价的有（）A．个B．个C．个D．个2．函数内（）A．只有最大值B．只有最小值C．只有最大值或只有最小值D．既有最大值又有最小值3．已知是不相等的正数，，则的大小关系是_________。4.已知a>0,b>0,求证a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc五、课后作业1．如果为各项都大于零的等差数列，公差，则（）A．B．C．D．2．若，则（）A．B．C．D．3．函数在点处的导数是()A．B．C．D．4．若正整数满足，则5.设图像的一条对称轴是.（1）求的值；（2）求的增区间；（3）证明直线与函数的图象不相切。第一课时综合法答案解析一、基础预探（1）答案：题目条件（2）答案：本题条件；已知定义；已知公理；已知定理（3）答案：已知条件；定义、定理、公理；推理、论证（4）答案：由因导果（5）答案：三．典例导析变式训练1.证明：由A,B,C成等差数列，有2B=A+C．①因为A,B,C为△ABC的内角，所以A+B+C=．②由①②得B=③.由a,b，c成等比数列有.由余弦定理及③，可得④.再由④得.,因此.从而A=C⑤.由②③⑤得:A=B=C=.所以△ABC为等边三角形．2.证明：法1)差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设，从而原不等式得证。法2）商值比较法：设故原不等式得证。3.证明：∵平面，且平面∴平面平面，且相交于在△中，∵，是边上的中线∴．∴平面∵平面，∴利用两个平面垂直的性质定理可以证明平面在△和△中设，则，，，∵，∵，∴△～△∵，∴∴．∵利用相似三角形的性质，得到∴∵，∴平面．四、随堂练习1．D解析：①；②③；④，都是对的2．D提示：利用三角函数的性质可得。3．提示：4.证明：因为b2+c2≥2bc,a>0所以a(b2+c2)≥2abc.又因为c2+b2≥2bc,b>0所以b(c2+a2)≥2abc.因此a(b2