高中数学人教A版第二章数列 优秀奖

数列第二章章末复习内容本章诊疗一、数列的概念精要总结1.数列的概念的理解。数列的数是按一定次序排列的，因此如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是不同的数列，例如4，5，6，7，8，9，10与数列10,9,8,7,6.5.4是两个不同的数列.数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此同一个数在数列中可以重复出现；数列的性质与集合中的元素相比较：①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的的，集合中的元素也具有确定性；②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素是不能重复出现；③有序性：一个数列不仅与构成的数列“数”有关，而且与这些数的排列次序有关，而集合中的元素是无序的；④数列的每一项是数，而集合中的元素还可以代表除数字的其它事物.2.对数列通项公式的理解（1）数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集为定义域的函数的解析式.（2）如果知道数列中的通项公式，依次可以用去替代公式中的就可以求出这个数列中的各项，同时，可以利用数列的通项公式进行验证某数是否是数列中的某项，是第几项；（3）如所有的函数关系式都不一定有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式，例如的近似值，精确到,,，所构成的数列为就写不出数列的通项公式.（4）有的数列的通项公式，在形式上是不一定是唯一确定的，例如数列：的通项可以写成也可以写为，还可以写为等，但是这些数列虽然形式不一样但是实质是一样的，表示同一数列，还应注意数列的通项还可以是分段函数的形式.3.数列与函数由于数列是以正整数集或它的有限子集为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的一列函数值，因此数列的图像是以序号为横坐标，相应的项为纵坐标的一系列孤立点，依据函数的特性来研究数列的问题，比如数列的单调性、图像、最值等数列的概念易错点，利用函数研究数列往往忽视数列的定义域4.递推数列与通项公式（1）通项公式直接反映了与之间的关系，即是的函数，知道任意一个值，可以求出该项的值；而递推数列则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个（或多个）相邻项之间的推导关系，不能由直接推导，（2）.如何用递推公式给出一个数列用递推数列公式给出一个数列，必须给出①“基础”——数列的第1项或前几项；②递推关系————数列的任一项与它的前一项（或前几项）之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示.（3）.给出了递推公式求数列的通项公式，常用累加、累乘、周期性等知识求解①如果满足的规律时，可以有累加.②满足时，可以有累乘.③为周期数列，则周期为（T为正整数）时，，可将转化为处理.2.错例辨析例2下列说法哪些是正确的？哪些是错误的？并说明理由（1）数列1,2,3，4可以表示为{1,2,3,4}（2）数列1,1,2,2与数列2,2,1,1是相同的数列（3）数列的第21项是（4）数列是无穷数列错解：（2）（4）正确剖析：上面全错搞清数列的概念正解：（1）错误，数列的表示不能与集合表示，所以是错误的；（2）错误，两个数列的次序不同是不同的数列；（3）正确，数列的奇数项是，所以第项是；（4）错误，数列是有穷数列.例3已知下面数列的前项和为，求数列的通项公式错解：，所以通项为.剖析：由求一定要分两种情况，当时，，对含有参数的问题要注意参数进行讨论正解：，当时，.当时，适合此等式；当时，不适合此等式.时，；当时，.二、等差数列1.精要总结（1）从第二项起每一项与前一项的差是一个常数，那么这个数列是等差数列，常数必须相同，即表示为是同一个常数，(1)从函数角度看等差数列的通项公式等差数列的通项公式，可以表示为，所以是的一次函数，其图像是一系列孤立点，当时，是单调递增函数，当是单调递减函数，当是常函数，此时数列是常数列.（2）有两点可以确定一条直线知，知道数列中的任意两项可以求出数列的通项来；由中共含有四个量，知三个量可以求出通项公式中的第四个量，即“知三求一”.利用等差数列的性质可以简便易行，那么等差数列的性质有搞清等差数列的性质，在解决数列问题时，性质优先考虑，所以等差数列常用的性质（1），那么；（2）；（3）分别是公差为等差数列，那么数列是公差为

但是注意在等差数列中，如果，不能推出.熟记等差数列的求和公式，关于的二次函数，但是没有常数项，若有常数项就不是等差数列的前项和，可以根据二次函数求等差数列和的最大值与最小值；也可以根据数列的单调性根据通项的正负确定最大项与最小项，等差数列和的性质满足每项的和仍成等差数列即仍成等差数列.1.等差数列的前项的和公式：是2.等差数列的前项和的推导过程相加可得这是数列求和的方法-----倒序相加求和.3.由等差数列求和公式若已知中的三个，可以求出其余的两个.1.等差数列前项和的性质有：①与的关系满足；②若项数为，则且；若项数为，则.③等差数列每项的和仍成等差数列，即仍成等差数列.2.等差数列的前项的和公式与函数的关系来解决等差数列的前项和的最值问题（1）二次函数法：用求二次函数最值的方法来求等差数列的前项和的最值问题，注意；（2）用图像法：利用二次函数的图像的对称性来确定的值，使取最值；（3）通项法：当，时，为使的最大的正整数时，最大，这是因为：当时，即递增；当时，即递减；类似地，①当为最大值；②当为最小值.2.错例辨析例4成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.错解：这四个数为，则由题设得解得所以所求的四个数为2,5,8,11.剖析：四个数成等差数列可以按设，但是注意公差不是，而是，再就是注意2,5,8,11.与与11,8,5,2.是不同的等差数列.正解：设这四个数为，则由题设得解得或所以，所求这四个数为2,5,8,11或11,8,5,2.例5在等差数列中，已知前项的和为，且求当取何值时，有最大值，并求出最大项.错解：设公差为，因为，所以由等差数列的前项和公式得，即，所以，当时，所以当时，最大，剖析：事实上是不正确的，应当满足正解：设公差为，因为，所以由等差数列的前项和公式得，即，因为，所以，即，又因为，又因为，所以，故当时有最大值，为.三、等比数列1.精要总结（1）在等比数列中公比，任何一项也不为零，从第二项起每一项与前一项的比是同一个常数，各项均不为零的常数列即是等差又是等比数列.（2）理解等比数列的通项公式，在通项公式中，知道中四个量中的三个可以求出另一量，可以推广为：，三个数成等比数列,那么是的等比中项，所以.（3）等比数列的性质①在等比数列中，公比是，当或时，是递增数列；当或，时，是单调递减数列；当时，数列是常数列，当是摆动数列；②在等比数列中，（）③在等比数列中，当时，有.④若有穷等比数列中，则与首末等距离的两项的积相等，即⑤在等比数列中，若成等差数列，那么成等比数列.（4）等比数列的前项和①等比数列的前项的和公式为，其中共涉及五个量，“知三求二”②前项和公式的应用中，要注意前项和公式的分类讨论，即与时不同的表达形式，不可忽略的情况，③错位相减和裂项消去法是数列求和的基本方法，其中错位相减法要注意等式两边所乘的数不能为，首末两位不能含糊不清.（5）等比数列和的性质等比数列的性质：①与指数函数对应；②成等比数列，公比为.③等比数列中，若项数为，则，若项数为，则，利用等比数列的性质解题，可以事半功倍.有关应用问题，关键在于理解题意，建立起函数关系，当函数关系与数列的通项公式相对应时，考虑这些项是否为特殊的等差、等比数列中的项，有关增长率问题，一般归结为等比数列的求通项、求和问题，应用等比数列通项公式和前项和公式便可以解决.2.错例辨析例6已知数列是非零等差数列，又a1,a3,a9组成一个等比数列的前三项，则的值是.错解：忘考虑公差为零的情况.剖析：，正解：或，当时，，当时，.答案：1或例7在等比数列中，，求错解：设公比为，则，两式相乘可得剖析：一方面是和的等比中项，另一方面的符号确定在等比数列中的位置，错解中没有对的符号进行准确的判断致误.正解：同上当为奇数时，与的奇偶性相反，.当为偶数时，与的奇偶性相同，即与同号，故四、数列求和的方法1.精要总结对于数列求和遇到等差或等比数列的可以利用等差数列与等比数列的求和公式求和，那么不是等差或等比数列的求和可以有下面的方法①拆项相消求和，一般遇到分式或根式的数列把通项拆成两项的差再求和，常用的，，注意拆成的两项的差一定要与保持一致，否则配如适当的系数；②错位相减求和，一般遇到等差数列与等比数列的积可以利用错位相减求和，就是把写出来，再同乘以公比，转化为等比数列再求和，第一注意项数，再就是公比是参数时注意讨论；③倒序相加求和；向等差数列求和公式的推导，到首末两端等距离的项数的和相等，这样的数列可以利用倒序相加求和；④分项分别求和：遇到复杂的数列可以把数列的通项拆成几部分在分别求和，不论采用哪一种方法，一般先求数列通项，根据通项再求和.2.错例辨析例8求