陕西省西安市周陵中学2022年高三数学理月考试题含解析

陕西省西安市周陵中学2022年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若复数z(i是虚数单位)，则|z|=（

）A. B. C.1 D.参考答案：B【分析】利用复数的除法运算化简后利用模的公式计算.【详解】z.所以|z|.故选：B.【点睛】本题主要考查复数的运算及模的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.正三棱柱的顶点都在同一个球面上，若球的半径为4，则该三棱柱的侧面面积的最大值为

（

）（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A设正三棱柱高为h，底面正三角形边长为a，则三棱柱侧面面积为，因为，所以因此三棱柱侧面面积最大值为，选A

3.已知定义在R上的奇函数f(x)满足，且对任意的，都有．又，则关于x的不等式在区间上的解集为（

）A. B.C. D.参考答案：C【分析】由题意可知，函数在是增函数，故恒成立，设，可判断函数是单调递减函数，所以当时，，可推出，又根据函数的性质画出函数和的函数图象，根据图象解不等式.【详解】是奇函数，设，由，可知，整理为：，是增函数，当时，，即设，，是单调递减函数，当时，，即，当时，恒成立，即，又，关于对称，又有，，，是周期为的函数，综上可画出和的函数图象，由图象可知不等式的解集是.故选：C【点睛】本题考查函数的性质和解不等式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，以及变形计算能力，旨在培养逻辑思维能力，本题的一个关键点是不等式转化为，确定函数是增函数，另一个是判断的单调性，这样当时，不等式转化为的解集.4.下列命题的说法错误的是（

）A．若为假命题，则均为假命题.B．“”是“”的充分不必要条件.C．对于命题则.D．命题“若，则”的逆否命题为：“若,则”参考答案：A略5.设全集，集合，集合，则（） A． B． C． D．{2，3，4}参考答案：D略6.用1、2、3组成无重复数字的三位数，这些数被2整除的概率是

（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：B7.已知函数的零点分别为，则的大小关系是A. B. C. D.参考答案：D由得。在坐标系中分别作出的图象，由图象可知，，，所以，选D.

8.某企业投入100万元购入一套设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业（

）年后需要更新设备.A.

10

B.

11

C.

13

D.

21参考答案：A由题意可知年的维护费用为，所以年平均污水处理费用为，由均值不等式得，当且仅当，即时取等号，所以选A.9.已知圆的方程为，则圆心坐标为（A）（B）（C）（D）参考答案：C圆的标准方程为，所以圆心坐标为，选C.10.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为．参考答案：5【考点】并集及其运算．【分析】求出A∪B，再明确元素个数【解答】解：集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则A∪B={1，2，3，4，5}；所以A∪B中元素的个数为5；故答案为：5【点评】题考查了集合的并集的运算，根据定义解答，注意元素不重复即可，属于基础题12.若实数x，y满足，则的最大值是

．参考答案：11作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，把目标函数z=2x+y化为y=－2x+z，由，解得A(5,1)，当目标函数经过点A(5,1)时，取得最大值，此时最大值为zmax=2×5+1=11．13.已知为数列的前项和，且满足，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略14.已知（其中是虚数单位），则

．参考答案：15.如图,在中，与交于点，且，则

．参考答案：16.计算：=

．参考答案：17.

从m个男生，n个女生（）中任选2个人当组长，假设事件A表示选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概率相等，则（m，n）的可能值为

．参考答案：解析：，由于，所以，整理得．即是完全平方数，且，因此

，，解得（不合条件），.所以．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤定义在18.-1,1上的奇函数，已知当时，(Ⅰ）求在0,1上的最大值；(Ⅱ）若是0，1上的增函数，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）设

当a≥4时，f（x）的最大值为2a-4.

(Ⅱ）因为函数f(x)在0,1上是增函数，所以

19.（13分）已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x﹣y﹣1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；（Ⅲ）设g（x）=xlnx﹣x2f（x），求g（x）在区间上的最大值．（其中e为自然对数的底数）参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】（Ⅰ）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（Ⅱ）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（Ⅲ）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在区间上的单调性，进而求得其在区间上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）′因为函数，∴f′（x）==f′（x）＞0?0＜x＜2，f′（x）＜0?x＜0，x＞2，故函数在（0，2）上递增，在（﹣∞，0）和（2，+∞）上递减．（Ⅱ）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，?x3=﹣ax+2，①由x﹣y﹣1=x﹣﹣1=0?（x2﹣a）（x﹣1）=0?x=1，x=±．把x=1代入①得a=1，把x=代入①得a=1，把x=﹣代入①得a=﹣1，∵a＞0．故所求实数a的值为1（Ⅲ）∵g（x）=xlnx﹣x2f（x）=xlnx﹣a（x﹣1），∴g′（x）=lnx+1﹣a，且g′（1）=1﹣a，g′（e）=2﹣a．当a＜1时，g′（1）＞0，g′（e）＞0，故g（x）在区间上递增，其最大值为g（e）=a+e（1﹣a）；当1＜a＜2时，g′（1）＜0，g′（e）＞0，故g（x）在区间上先减后增且g（1）=0，g（e）＞0．所以g（x）在区间上的最大值为g（e）=a+e（1﹣a）；当a＞2时，g′（1）＜0，g′（e）＜0，g（x）在区间上递减，故最大值为g（1）=0．【点评】本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及利用导数研究函数的单调性，是高考的常考题型．20.（1）计算（2）已知复数满足，的虚部为2．求复数z.参考答案：（1）=

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3分=-i=1-2i

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5分（2）设（），则

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7分解得，或

.

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9分所以或．

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10分21.[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy中，已知点P（1，﹣2），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，直线l和曲线C的交点为A，B．（1）求直线l和曲线C的普通方程；（2）求|PA|+|PB|．参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【专题】方程思想；分析法；坐标系和参数方程．【分析】（1）由代入消元法，可得直线的普通方程；运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的普通方程；（2）求得直线l的标准参数方程，代入曲线C的普通方程，可得二次方程，运用韦达定理和参数的几何意义，即可得到所求和．【解答】解：（1）直线l：（t为参数），消去t，可得直线l的普通方程为x﹣y﹣3=0；曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=2cosθ，即为ρ2sin2θ=2ρcosθ，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得曲线C的普通方程为y2=2x；（2）直线l的标准参数方程为（m为参数），代入曲线C：y2=2x，可得m2﹣6m+4=0，即有m1+m2=6，m1m2=4，则|PA|+|PB|=|m1|+|m2|=m1+m2=6．【点评】本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化、参数方程和普通方程的互化，考查直线的参数方程的运用，注意运用联立方程和韦达定理，以及参数的几何意义，考查运算能力，属于基础题．22.已知的实常数，函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点，（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：.