高中数学北师大版本册总复习总复习综合学业质量标准检测2

综合学业质量标准检测(二)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2023·全国卷Ⅱ理，2)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝eq\x(导学号00815088)(C)A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}[解析]∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，∴1－4＋m＝0，∴m＝3.由x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3，∴B＝{1,3}．2．已知集合A＝{x|0<log4x<1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝eq\x(导学号00815089)(D)A．(0,1) B．(0,2]C．(1,2) D．(1,2][解析]因为A＝{x|0<log4x<1}＝{x|1<x<4}，B＝{x|x≤2}．所以A∩B＝{x|1<x<4}∩{x|x≤2}＝{x|1<x≤2}．3．(2023·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是eq\x(导学号00815090)(A)A．y＝x＋ex B．y＝x＋eq\f(1,x)C．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝eq\r(1＋x2)[解析]令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而BCD依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选A．4．设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|x－1|－2，|x|≤1,\f(1,1＋x2)，|x|>1))，则f[f(eq\f(1,2))]＝eq\x(导学号00815091)(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(4,13)C．－eq\f(9,5) D．eq\f(25,41)[解析]由于|eq\f(1,2)|<1，所以f(eq\f(1,2))＝|eq\f(1,2)－1|－2＝－eq\f(3,2)，而|－eq\f(3,2)|>1，所以f(－eq\f(3,2))＝eq\f(1,1＋－\f(3,2)2)＝eq\f(1,\f(13,4))＝eq\f(4,13)，所以f[f(eq\f(1,2))]＝eq\f(4,13)，选B．5．设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1,1－log2x，x>1，))则满足f(x)≤2的x的取值范围是eq\x(导学号00815092)(D)A．[－1,2] B．[0,2]C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)[解析]本小题考查内容为分段函数中不等式的解法．①当x≤1时，21－x≤2＝21，∴1－x≤1，∴0≤x≤1，②当x>1时，1－log2x≤2，∴log2x≥－1＝log2eq\f(1,2).∴x≥eq\f(1,2)，∴x>1，综合①②知，x≥0.6．函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0，,－2＋lnx，x>0))的零点个数为eq\x(导学号00815093)(B)A．3 B．2C．1 D．0[解析]令x2＋2x－3＝0，解得x1＝1或x2＝－3，由于x1＝1>0，故舍去．令－2＋lnx＝0，即lnx＝2，得x＝e2.综上可得，当x＝3或x＝e2时，原函数的零点有2个．故选B．7．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则eq\x(导学号00815094)(B)A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数[解析]f(x)＝3x＋3－x且定义域为R，则f(－x)＝3－x＋3x，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)为偶函数．同理得g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数．故选B．8．log43、log34、eqlog\s\do8(\f(4,3))eq\f(3,4)的大小顺序是eq\x(导学号00815095)(B)A．log34<log43<eqlog\s\do8(\f(4,3))eq\f(3,4)B．log34>log43>eqlog\s\do8(\f(4,3))eq\f(3,4)C．log34>eqlog\s\do8(\f(4,3))eq\f(3,4)>log43D．eqlog\s\do8(\f(4,3))eq\f(3,4)>log34>log43[解析]将各式与0,1比较．∵log34>log33＝1，log43<log44＝1，又0<eq\f(3,4)<1，eq\f(4,3)>1，∴eqlog\s\do8(\f(4,3))eq\f(3,4)<0.故有eqlog\s\do8(\f(4,3))eq\f(3,4)<log43<log34.所以选B．9．函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a，b的值为eq\x(导学号00815096)(B)A．a＝1，b＝0B．a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3C．a＝－1，b＝3D．以上答案均不正确[解析]对称轴x＝1，当a>0时在[2,3]上递增，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2＝2，,f3＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0.))当a<0时，在[2,3]上递减，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2＝5，,f3＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝3.))故选B．10．已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞eq\f(1,2)时，f(x＋eq\f(1,2))＝f(x－eq\f(1,2))．则f(6)＝eq\x(导学号00815097)(D)A．－2 B．－1C．0 D．2[解析]∵当x>2时，f(x＋eq\f(1,2))＝f(x－eq\f(1,2))，∴f(x＋1)＝f(x)，∴f(6)＝f(5)＝f(4)＝…＝f(1)，又当－1≤x≤1时，f(x)＝－f(－x)．∴f(1)＝－f(－1)，又因为当x<0时，f(x)＝x3－1，∴f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2.11．函数f(x)＝lgx－eq\f(2,x)的零点所在的区间应是eq\x(导学号00815098)(C)A．(1,2) B．(2,3)C．(3,4) D．(4,5)[解析]按照函数零点的概念，f(3)＝lg3－eq\f(2,3)＝lgeq\r(3,27)－lgeq\r(3,100)<0，f(4)＝lg4－eq\f(1,2)＝lgeq\r(16)－lgeq\r(10)>0，故f(3)·f(4)<0.其余三个区间均有f(a)·f(b)>0，即f(a)与f(b)同号，故选C．12．有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝，lg3＝eq\x(导学号00815099)(C)A．19 B．20C．21 D．22[解析]操作次数为n时的浓度为(eq\f(9,10))n＋1，由(eq\f(9,10))n＋1<10%，得n＋1>eq\f(－1,lg\f(9,10))＝eq\f(－1,2lg3－1)≈，∴n≥21.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．(2023·广东深圳模拟)设集合A＝{－1,0,3}，B＝{a＋3,2a＋1}，A∩B＝{3}，则实数a的值为_0或\x(导学号00815100)[解析]若a＋3＝3，则a＝0，B＝{1,3}，符合题意，若2a＋1＝3，则a＝1，B＝{4,3}符合题意．∴a14．已知logaeq\f(1,2)>0，若ax2＋2x－4≤eq\f(1,a)，则实数x的取值范围为_(－∞，－3]∪[1，＋∞)\x(导学号00815101)[解析]由logaeq\f(1,2)>0得0<a<1.由ax2＋2x－4≤eq\f(1,a)得ax2＋2x－4≤a－1，∴x2＋2x－4≥－1，解得x≤－3或x≥1.15．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围1<a<eq\f(5,4).eq\x(导学号00815102)[解析]y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋a，x≥0,x2＋x＋a，x<0))作出图像，如图所示．此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－eq\f(1,4)，要使y＝1与其有四个交点，只需a－eq\f(1,4)<1<a，∴1<a<eq\f(5,4).16．已知实数a≠0，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋a，x<1,－x－2a，x≥1))，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为－eq\f(3,4).eq\x(导学号00815103)[解析]首先讨论1－a,1＋a与1的关系．当a<0时，1－a>1,1＋a<1，所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－af(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a解得a＝－eq\f(3,4).当a>0时，1－a<1,1＋a>1，所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a.f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3因为f(1－a)＝f(1＋a)所以2－a＝－3a－1，所以a＝－eq\f(3,2)(舍去)综上，满足条件的a＝－eq\f(3,4).三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A＝{x|a<x≤a＋8}，B＝{x|8－b<x<b}，M＝{x|x<－1或x>5}，全集U＝\x(导学号00815104)(1)若A∪M＝R，求实数a的取值范围；(2)基B∪(∁UM)＝B，求b的取值范围．[解析](1)由于A∪M＝R，于是有：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋8≥5，,a<－1))⇒－3≤a<－1.(2)显然∁UM＝{x|－1≤x≤5}；由于B∪(∁UM)＝B，于是有：∁UM⊆B，于是{x|－1≤x≤5}⊆B，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8－b<－1，,b>5))⇒b>9.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgx，x≥\f(3,2)，,lg3－x，x<\f(3,2).))若方程f(x)＝k无实数解，求k的取值范围.eq\x(导学号00815105)[解析]当x≥eq\f(3,2)时，函数f(x)＝lgx是增加的，∴f(x)∈[lgeq\f(3,2)，＋∞]；当x<eq\f(3,2)时，函数f(x)＝lg(3－x)是减少的，∴f(x)∈(lgeq\f(3,2)，＋∞)．故f(x)∈[lgeq\f(3,2)，＋∞)．要使方程无实数解，则k<lgeq\f(3,2).故k的取值范围是(－∞，lgeq\f(3,2))．19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝eq\f(ax－1,x＋1)，其中a∈\x(导学号00815106)(1)若a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数．[解析]f(x)＝eq\f(ax－1,x＋1)＝eq\f(ax＋1－a－1,x＋1)＝a－eq\f(a＋1,x＋1)，设x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(a＋1,x2＋1)－eq\f(a＋1,x1＋1)＝eq\f(a＋1x1－x2,x1＋1x2＋1).(1)当a＝1时，f(x)＝1－eq\f(2,x＋1)，设0≤x1<x2≤3，则f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1－x2,x1＋1x2＋1)，又x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[0,3]上是增函数，∴f(x)max＝f(3)＝1－eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)，f(x)min＝f(0)＝1－eq\f(2,1)＝－1.(2)设x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0.若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只要f(x1)－f(x2)<0，而f(x1)－f(x2)＝eq\f(a＋1x1－x2,x1＋1x2＋1)，∴当a＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)<f(x2)．∴当a<－1时，f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调减函数．20．(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f(x)为减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)>0，求实数a的取值范围.eq\x(导学号00815107)(2)定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)<g(m)成立，求m的取值范围．[解析](1)∵f(1－a)＋f(1－a2)>0，∴f(1－a)>－f(1－a2)．∵f(x)是奇函数，∴f(1－a)>f(a2－1)．又∵f(x)在(－1,1)上为减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a<a2－1，,－1<1－a<1，,－1<1－a2<1，))解得1<a<eq\r(2).(2)因为函数g(x)在[－2,2]上是偶函数，则由g(1－m)<g(m)可得g(|1－m|)<g(|m|)．又当x≥0时，g(x)为减函数，得到eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|1－m|≤2，,|m|≤2，,|1－m|>|m|，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤m≤3，,－2≤m≤2，,1－m2>m2，))解之得－1≤m<eq\f(1,2).21．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件：eq\x(导学号00815108)①f(x)在D上单调递增或单调递减函数；②存在闭区间[a，b]∈D(其中a<b)，使得当x∈[a，b]时，f(x)的取值集合也是[a，b]．那么，我们称函数y＝f(x)(x∈D)是闭函数．(1)判断f(x)＝－x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．(2)若f(x)＝k＋eq\r(x＋2)是闭函数，求实数k的取值范围．(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出增函数还是减函数即可)[解析](1)f(x)＝－x3在R上是减函数，满足①；设存在区间[a，b]，f(x)的取值集合也是[a，b]，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a3＝b,－b3＝a))，解得a＝－1，b＝1，所以存在区间[－1,1]满足②，所以f(x)＝－x3(x∈R)是闭函数．(2)f(x)＝k＋eq\r(x＋2)是在[－2，＋∞)上的增函数，由题意知，f(x)＝k＋eq\r(x＋2)是闭函数，存在区间[a，b]满足②，即eq\b\lc\{\