高中物理鲁科版第六章相对论与量子论初步 2023版第6章章末分层突破

章末分层突破[自我校对]①eq\f(r3,T2)②Geq\f(m1m2,r2)③km/s④向心力⑤相对性原理⑥光速不变原理⑦时间延缓效应⑧长度收缩效应⑨质速关系⑩质能关系⑪量子⑫波粒二象________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________天体质量和密度的计算天体的运动可以近似看成匀速圆周运动，天体质量和密度的计算涉及两种解题思路．(1)利用天体做圆周运动的向心力由万有引力提供，天体的运动遵循牛顿第二定律求解．即Geq\f(Mm,r2)＝maeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(G\f(Mm,r2)＝m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\s\up12(\f(2π,T))))2r⇒M＝\f(4π2r3,GT2)⇒ρ＝\f(3πr3,GT2R3),G\f(Mm,r2)＝m\f(v2,r)⇒M＝\f(v2r,G)⇒ρ＝\f(3rv2,4πGR3)))(2)利用天体表面物体的重力约等于万有引力来求解，即Geq\f(Mm,R2)＝mg⇒M＝eq\f(gR2,G)⇒ρ＝eq\f(3g,4πGR).“嫦娥三号”探测器在环月运行时，其运行周期为T，距离月球表面的高度为h，已知月球的半径为R，万有引力常量为G.若将“嫦娥三号”探测器的运行轨道看作圆轨道，求：(1)月球质量M；(2)月球的平均密度．【解析】(1)“嫦娥三号”探测器的运行轨道看作圆轨道，万有引力充当向心力，所以eq\f(GMm,R＋h2)＝m(R＋h)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2，得M＝eq\f(4π2R＋h3,GT2).(2)月球的平均密度ρ＝eq\f(M,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3πR＋h3,GT2R3).【答案】(1)eq\f(4π2R＋h3,GT2)(2)eq\f(3πR＋h3,GT2R3)“黄金代换”式成立的三种情形对于“黄金代换”式GM＝gR2，绝对不可以理解为只要在地球表面上就能成立，其成立是有条件的．“黄金代换”式成立的一般情形有三种．1．对于地球两极上的物体恒成立处在地球两极上的物体，由于没有随地球自转而做匀速圆周运动，地球对物体的万有引力等于物体的重力．故Geq\f(Mm,R2)＝mg，即有GM＝gR2.2．如果忽略地球的自转效应，对于地球表面上任意位置处的物体都成立同一个物体，由于随地球自转而需要的向心力与其自身的重力相比小得多(可以证明)，故可以近似认为Geq\f(Mm,R2)＝mg.当然，如果要计算地球某纬度处的物体随地球自转而需要的向心力时，则Geq\f(Mm,R2)＝mg不成立．3．对于以环绕速度(v＝km/s)运行的近地人造卫星成立这种人造卫星的环绕速度等于第一宇宙速度．对该人造卫星，由万有引力定律可得Geq\f(Mm,R＋h2)＝mg′，由于该卫星离地面的高度h≪R，所以R＋h≈R，则在离地面高为h处的重力加速度g′＝g.故对该卫星而言，可以把Geq\f(Mm,R＋h2)＝mg′近似视为Geq\f(Mm,R2)＝mg，即GM＝gR2.若有一人造卫星距地面高度为h，地球质量为M、半径为R，地面的重力加速度为g，引力常量为G.(1)试分别用h、R、M、G表示该人造卫星的周期T、线速度v和角速度ω.(2)试分别用h、R、g表示该人造卫星的周期T、线速度v和角速度ω.【导学号：45732168】【解析】此题已明确要求要分别用“h、R、M、G”与“h、R、g”表示人造卫星的周期T、线速度v和角速度ω.如果用M、g、R进行表示，则必然要用到“GM＝gR2”．(1)卫星运动由万有引力提供向心力，根据向心力的不同表达形式，有Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)＝meq\f(v2,R＋h)＝mω2(R＋h)解得T＝2πeq\r(\f(R＋h3,GM))，v＝eq\r(\f(GM,R＋h))，ω＝eq\r(\f(GM,R＋h3)).(2)由于万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，则对离地面高为h处的卫星，有Geq\f(Mm,R＋h2)＝meq\f(4π2,T2)(R＋h)＝meq\f(v2,R＋h)＝mω2(R＋h)又地面上的物体，有eq\f(GMm′,R2)＝m′g由以上各式可得T＝eq\f(2π,R)eq\r(\f(R＋h3,g))，v＝eq\r(\f(gR2,R＋h))，ω＝eq\r(\f(gR2,R＋h3)).【答案】见解析双星模型1.什么是双星模型宇宙中往往会有相距较近、质量相差不多的两颗星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对他们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动，这种结构叫做双星系统．2．双星模型的特点如图6­1所示，质量分别为m和M的两个星球A和B在万有引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线．A和B分别在O的两侧，引力常量为G.图6­1(1)求两星球做圆周运动的周期．(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为×1024kg和×1022kg.求T2与T1两者平方之比．(结果保留3位小数)【解析】(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度一样，周期也一样，其所需向心力由两者间的万有引力提供，由牛顿第二定律得：对于M：Geq\f(Mm,L2)＝Meq\f(4π2,T2)r1对于m：Geq\f(Mm,L2)＝meq\f(4π2,T2)r2其中：r1＋r2＝L由以上三式，可得：T＝2πeq\r(\f(L3,GM＋m)).(2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，由(1)可知两者运行周期为T1＝2πeq\r(\f(L3,GM＋m))若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得：Geq\f(Mm,L2)＝meq\f(4π2,T\o\al(2,2))L解得：T2＝eq\r(\f(4π2L3,GM))故：eq\f(T\o\al(2,2),T\o\al(2,1))＝eq\f(M＋m,M)＝.【答案】(1)均为2πeq\r(\f(L3,GM＋m))(2)解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)双星问题的“两等”：①它们的角速度相等．②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的．(2)“两不等”：①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离．②由m1ω2r1＝m2ω2r2知，由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等．(教师用书独具)1．关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是()A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律【解析】开普勒与前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，选项B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误中；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误．【答案】B2．如图6­2所示，若两颗人造卫星a和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b到地心O的距离分别为r1、r2，线速度大小分别为v1、v2，则()图6­2\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1)) \f(v1,v2)＝eq\r(\f(r1,r2))\f(v1,v2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r2,r1)))2 \f(v1,v2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1,r2)))2【解析】对人造卫星，根据万有引力提供向心力eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，可得v＝eq\r(\f(GM,r)).所以对于a、b两颗人造卫星有eq\f(v1,v2)＝eq\r(\f(r2,r1))，故选项A正确．【答案】A3．(多选)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为×103kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的倍，地球表面的重力加速度大小约为m/s2.则此探测器()A．在着陆前的瞬间，速度大小约为m/sB．悬停时受到的反冲作用力约为2×103NC．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度【解析】设月球表面的重力加速度为g月，则eq\f(g月,g地)＝eq\f(\f(GM月,R\o\al(2,月)),\f(GM地,R\o\al(2,地)))＝eq\f(M月,M地)·eq\f(R\o\al(2,地),R\o\al(2,月))＝eq\f(1,81)×，解得g月≈m/s2.A．由v2＝2g月h，得着陆前的速度为v＝eq\r(2g月h)＝eq\r(2××4)m/s≈m/s，选项A错误．B．悬停时受到的反冲力F＝mg月≈2×103N，选项B正确．C．从离开近月圆轨道到着陆过程中，除重力做功外，还有其他外力做功，故机械能不守恒，选项C错误．D．设探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为v1、v2，则eq\f(v1,v2)＝eq\f(\r(\f(GM月,R月)),\r(\f(GM地,R地)))＝eq\r(\f(M月,M地)·\f(R地,R月))＝eq\r(\f,81))＜1，故v1＜v2，选项D正确．【答案】BD5．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图6­3所示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：图6­3(1)A星体所受合力大小FA；(2)B星体所受合力大小FB；(3)C星体的轨道半径RC；(4)三星体做圆周运动的周期T.【解析】(1)由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)＝FCA，方向如图，则合力大小为FA＝2eq\r(3)Geq\f(m2,a2).(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为FAB＝Geq\f(mAmB,r2)＝Geq\f(2m2,a2)，FCB＝Geq\f(mCmB,r2)＝Geq\f(m2,a2)，方向如图所示．由FBx＝FABcos60°＋FCB＝2Geq\f(m2,a2)，FBy＝FABsin60°＝eq\r(3)Geq\f(m2,a2)，可得FB＝eq\r(F\o\al(2,Bx)＋F\o\al(2,By))＝eq\r(7)Geq\f(m2,a2).(3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，则RC＝eq\r(\f(\r(3),4)a2＋\f(1,2)a2)，可得RC＝eq\f(\r(7),4)a.(或由对