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文档简介
福建省宁德市福安民族中学2021-2022学年高一数学理联考试卷含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l,使l与棱AB,AD,AA1所成的角都相等,这样的直线l可以作()A.1条
B.2条C.3条
D.4条参考答案:D2.(5分)下列图形中,不能表示以x为自变量的函数图象的是() A. B. C. D. 参考答案:B考点: 函数的概念及其构成要素.专题: 函数的性质及应用.分析: 利用函数定义,根据x取值的任意性,以及y的唯一性分别进行判断.解答: B中,当x>0时,y有两个值和x对应,不满足函数y的唯一性,A,C,D满足函数的定义,故选:B点评: 本题主要考查函数的定义的应用,根据函数的定义和性质是解决本题的关键.3.已知函数,在一个周期内当时,有最大值2,当时,有最小值,那么
()A.
B.C.
D.参考答案:D略4.定义运算“”如下:则函数的最大值等于(
)A.8
B.6
C.4
D.1参考答案:B略5.下列因式分解中,结果正确的是()
A.
B.
C.
D.参考答案:B6.函数的图象恒过定点(
)A.(2,2)
B.(2,1) C.(3,2) D.(2,0)参考答案:A略7.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(
)A. B. C. D.参考答案:D【分析】如图,作出在平面上的射影,求出和,然后直接求正弦值即可【详解】如图所示,在平面内过点作的垂线,垂足为,连接.平面,的正弦值即为所求.,,.【点睛】本题考查线面角的计算问题,属于基础题,解题核心在于找到平面外直线在平面的射影8.等比数列的前n项和为,其中c为常数,则c的值为(
)A.3
B.-3
C.1
D.-1
参考答案:B9.设函数f(x)在(﹣∞,+∞)上有意义,对于给定的正数k,定义函数fk(x)=,取k=3,f(x)=()|x|,则fk(x)=的零点有()A.0个 B.1个C.2个 D.不确定,随k的变化而变化参考答案:C【考点】根的存在性及根的个数判断.【分析】先根据题中所给函数定义,求出函数函数fK(x)的解析式,从而得到一个分段函数,然后再利用指数函数的性质求出所求即可.【解答】解:函数fk(x)=的图象如图所示:则fk(x)=的零点就是fk(x)与y=的交点,故交点有两个,即零点两个.故选:C10.正三棱锥的高是,侧棱长为,那么侧面与底面所成的二面角是(
)A.
B.
C.
D.参考答案:A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线平面,直线在平面内,给出下列四个命题:①;②;③;④,其中真命题的序号是
.参考答案:
12.为估计池塘中鱼的数量,负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘,几天后,随机打捞40条鱼,其中带有标记的共5条.利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼________条.参考答案:350【分析】设池塘中原来有鱼条,由带标记的鱼和总的鱼比例相同列等式求解即可.【详解】由题意,设池塘中原来有鱼条,则由比值相同得,解得,故答案为:350【点睛】本题主要考查古典概型的应用,属于简单题.13.(5分)已知函数,则函数定义域为
.参考答案:[1,+∞)考点: 函数的定义域及其求法.专题: 函数的性质及应用.分析: 根据函数成立的条件即可求函数的定义域.解答: 要使函数有意义,则x﹣1≥0,即x≥1,故函数的定义域为[1,+∞),故答案为:[1,+∞)点评: 本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件.14.若函数是偶函数,则的递增区间是
▲参考答案:15.已知过点M(﹣3,0)的直线l被圆x2+(y+2)2=25所截得的弦长为8,那么直线l的方程为.参考答案:x=﹣3或5x﹣12y+15=0【考点】直线与圆的位置关系.【分析】设直线方程为y=k(x+3)或x=﹣3,根据直线l被圆圆x2+(y+2)2=25所截得的弦长为8,可得圆心到直线的距离为3,利用点到直线的距离公式确定k值,验证x=﹣3是否符合题意.【解答】解:设直线方程为y=k(x+3)或x=﹣3,∵圆心坐标为(0,﹣2),圆的半径为5,∴圆心到直线的距离d==3,∴=3,∴k=,∴直线方程为y=(x+3),即5x﹣12y+15=0;直线x=﹣3,圆心到直线的距离d=|﹣3|=3,符合题意,故答案为:x=﹣3或5x﹣12y+15=0.16.已知向量=(2,3),=(,2),那么在上的投影为
.参考答案:略17.已知一个四次方程至多有四个根,记为x1,x2,…,xk(k≤4).若方程x4+ax﹣4=0各个实根所对应的点(xi,),(i=1,2,…k)均在直线y=x的同侧,求实数a的取值范围
. 参考答案:a<﹣6或a>6【考点】根的存在性及根的个数判断;二元一次不等式(组)与平面区域. 【专题】数形结合;转化法;函数的性质及应用. 【分析】原方程等价于x3+a=,原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标,分别作出左右两边函数的图象:分a>0与a<0讨论,可得答案. 【解答】解:方程的根显然x≠0,原方程等价于x3+a=, 原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线y=的交点的横坐标, 而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的, 若交点(i=1,2,…,k)均在直线y=x的同侧, 因直线y=x与y=交点为:(﹣2,﹣2),(2,2); 所以结合图象可得或, 解得a>6或a<﹣6. 故答案为:a>6或a<﹣6. 【点评】本题综合考查函数与方程的应用,数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质.考查学生的转化二行推理能力. 三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.(10分)已知一个二次函数,.求这个函数的解析式。参考答案:19.(12分)已知向量=(cosωx﹣sinωx,sinωx),=(﹣cosωx﹣sinωx,2cosωx),设函数f(x)=?+λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,且经过点(,0),其中ω,λ为常数,ω∈(,1).(1)求函数f(x)的解析式;(2)先将函数y=f(x)的图象向右平移个单位,然后将所得图象上各点的横坐标变为原来的5倍,纵坐标不变,最后将所得图象向上平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在区间上的值域.参考答案:考点: 函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;平面向量数量积的运算.专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用.分析: (1)先利用向量数量积运算性质,求函数f(x)的解析式,再利用二倍角公式和两角差的余弦公式将函数f(x)化为y=Asin(ωx+φ)+k型函数,最后利用函数的对称性和ω的范围,计算ω的值,从而得函数的最小正周期,先将已知点的坐标代入函数解析式,求得λ的值,即可求得函数f(x)的解析式;(2)由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换求得g(x)的解析式,求得﹣的取值范围,即可得到g(x)在区间上的值域.解答: (1)∵f(x)=?+λ=(cosωx﹣sinωx)×(﹣cosωx﹣sinωx)+sinωx×2cosωx+λ=﹣(cos2ωx﹣sin2ωx)+sin2ωx+λ,=sin2ωx﹣cos2ωx+λ=2sin(2ωx﹣)+λ,∵图象关于直线x=π对称,∴2πω﹣=+kπ,k∈z,∴ω=+,又ω∈(,1),∴k=1时,ω=,∵f()=0,∴2sin(2××﹣)+λ=0,∴λ=﹣,∴f(x)=2sin(x﹣)﹣.(2)先将函数y=f(x)的图象向右平移个单位,得到的函数解析式为:y=2sin﹣=2sin(x﹣)﹣.然后将所得图象上各点的横坐标变为原来的5倍,纵坐标不变,得到的函数解析式为:y=2sin(x﹣)﹣=2sin(﹣)﹣.最后将所得图象向上平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,得到的函数解析式为:g(x)=2sin(﹣).∵x∈,∴﹣∈,∴g(x)=2sin(﹣)∈.点评: 本题主要考查了y=Asin(ωx+φ)+k型函数的图象和性质,向量数量积运算性质,复合函数值域的求法,整体代入的思想方法,属基础题.20.设,其中,如果
,求实数的取值范围。参考答案:略21.近年来,中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁,百般刁难,并不断加大对各国的施压,拉拢他们抵制华为5G,然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录,海外增长同样强劲.今年,我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力,计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本250万,每生产x(千部)手机,需另投入成本R(x)万元,且,由市场调研知,每部手机售价0.7万元,且全年内生产的手机当年能全部销售完.(Ⅰ)求出2020年的利润W(x)(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式,(利润=销售额—成本);(Ⅱ)2020年产量为多少(千部)时,企业所获利润最大?最大利润是多少?参考答案:(Ⅰ)(Ⅱ)2020年产量为100(千部)时,企业所获利润最大,最大利润是9000万元.(Ⅰ)根据销售额减去成本(固定成本万和成本)求出利润函数即可.(Ⅱ)根据(Ⅰ)中的分段函数可求出何时取最大值及相应的最大值.【详解】(Ⅰ)当时,;当时,,.(Ⅱ)若,,当时,万元.若,,当且仅当时,即时,万元.2020年产量为10
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