高中数学人教A版第一章集合与函数概念【市一等奖】

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有eq\f(fa－fb,a－b)>0，则必有()A．函数f(x)先增后减B．f(x)是R上的增函数C．函数f(x)先减后增D．函数f(x)是R上的减函数解析：由eq\f(fa－fb,a－b)>0知，当a>b时，f(a)>f(b)；当a<b时，f(a)<f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数．答案：B2．函数y＝x2－6x的减区间是()A．(－∞，2] B．[2，＋∞)C．[3，＋∞) D．(－∞，3]解析：y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3]．答案：D3．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，若a∈R，则()A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a)C．f(a＋3)>f(a－2) D．f(6)>f(a)解析：因为函数f(x)是增函数，且a＋3>a－2，所以f(a＋3)>f(a－2)．答案：C4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，所以2m>－m＋9，即m>3.答案：C二、填空题(每小题5分，共15分)5．如图所示为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，则函数f(x)的单调递增区间是________．解析：由图象知单调递增区间为[－,3]和[5,6]．答案：[－,3]和[5,6]6．已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－1)，B(3,1)是其图象上的两点，那么－1<f(x)<1的解集是________．解析：因为函数图象过A(0，－1)，B(3,1)，所以f(3)＝1，f(0)＝－1.由－1<f(x)<1，得f(0)<f(x)<f(3)．又因为函数f(x)是R上的增函数，所以0<x<3.答案：(0,3)7．(2023·湛江高一检测)函数f(x)＝eq\r(x2－4x)，单调增区间为________．解析：函数的定义域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，令t＝x2－4x，则f(t)＝eq\r(t)，因为f(t)＝eq\r(t)为增函数，而t＝x2－4x在区间[2，＋∞)上为增函数，与定义域取交集得函数f(x)＝eq\r(x2－4x)的单调递增区间为[4，＋∞)．答案：[4，＋∞)三、解答题(每小题10分，共20分)8．(2023·成都高一检测)已知函数f(x)＝eq\f(3x＋7,x＋2)，求函数的单调区间．解析：设x1，x2∈(－∞，－2)或x1，x2∈(－2，＋∞)且x1<x2，所以f(x1)－f(x2)＝eq\f(3x1＋7,x1＋2)－eq\f(3x2＋7,x2＋2)＝eq\f(3x1＋7x2＋2－3x2＋7x1＋2,x1＋2x2＋2)＝eq\f(x2－x1,x1＋2x2＋2).因为x1<x2，所以x2－x1>0，当x1，x2∈(－2，＋∞)时，函数f(x)＝eq\f(3x＋7,x＋2)为减函数．当x1，x2∈(－∞，－2)时，函数f(x)＝eq\f(3x＋7,x＋2)为减函数，所以函数的单调递减区间为(－2，＋∞)，(－∞，－2)．9．作出函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－3，x≤1，,x－22＋3，x>1))的图象，并指出函数的单调区间．解析：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－3，x≤1，,x－22＋3，x>1))的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．能力测评10．画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间．解析：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x≥0，,－x2－2x＋1，x<0，))即y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－12＋2，x≥0，,－x＋12＋2，x<0.))函数的大致图象如图所示，单调增区间为(－∞，－1]，[0,1]，单调减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．11．(2023·浏阳高一检测)已知函数f(x)＝x＋eq\f(m,x)，且此函数图象过点(1,5)．(1)求实数m的值；(2)判断函数f(x)在(0,2)上的单调性？并用定义证明．解析：(1)把(1,5)代入函数f(x)得f(1)＝1＋m＝5，解得m＝4.(2)函数在(0,2)上单调递减，证明如下：任取0<x1<x2<2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(4,x1)－x2－eq\f(4,x2)＝(x1－x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,x1)－\f(4,x2)))＝(x1－x2)＋eq\f(4,x1x2)(x2－x1)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x1x2)))＝(x1－x2)eq\f(x1x2－4,x1x2)因为0<x1<x2<2，所以0<x1x2<4，所以x1x2－4<0，x1－x2<0，所以f(x1)>f(x2)，所以函数在(0,2)上单调递减．12．(2023·烟台高一检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数且a≠0)，若f(x)的值域为[0，＋∞)，且f(－1)＝0.(1)求f(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．解析：(1)f(x)的对称轴为直线x＝－eq\f(b,2a)，在R上有最小值0，所以a>0且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))＝0；又因为f(－1)＝0，所以a－b＋1＝0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))2＋b\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))＋1＝0，,a－b＋1＝0.))解得b＝2，a＝1.所以f(x)＝(x＋1)2.(2)因为g(x)＝f(x)－kx，＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋