湖南省株洲市实验中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析

湖南省株洲市实验中学2021-2022学年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（2015?温州一模）过边长为2的正方形中心作直线l将正方形分为两个部分，将其中的一个部分沿直线l翻折到另一个部分上．则两个部分图形中不重叠的面积的最大值为（）A．2B．2（3﹣）C．4（2﹣）D．4（3﹣2）参考答案：D考点：相似三角形的性质．

专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：A点与中轴线重合，能得到不重叠面积的最大值，不重叠为四个等腰直角三角形，且全等，其斜边的高为﹣1，即可得出结论．解答：解：如图：A点与中轴线重合，能得到不重叠面积的最大值若G向B靠近不重叠面积将会越来越小，G重合B，不重叠面积为0若G向C靠近不重叠面积将会越来越小，G重合C，不重叠面积为0不重叠为四个等腰直角三角形，且全等，其斜边的高为﹣1∴不重叠面积为（﹣1）2×4=12﹣8，故选：D，点评：本题考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．2.设,分别为双曲线的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点,满足,且到直线的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：A略3.某学校从高二甲、乙两个班中各选6名同掌参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是

85，乙班学生成绩的平均分为81，则x+y的值为(

)

(A)6

(B)7(C)8

(D)9参考答案：D略4.

设集合，，则=A.

B.

C.

D.U参考答案：A5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A8

B14

C12

D9参考答案：C略6.若直线同时平分一个三角形的周长和面积，则称直线为该三角形的“平分线”，已知△ABC三边之长分别为3，4，5，则△ABC的“平分线”的条数为A．1

B．0

C．3

D．2参考答案：A7.已知的值是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B8.设函数f（x）＝（0≤x≤2011π），则函数f（x）的各极大值之和为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D9.已知直线l经过点P（2，1），且与直线2x﹣y+2=0平行，那么直线l的方程是（）A．2x﹣y﹣3=0 B．x+2y﹣4=0 C．2x﹣y﹣4=0 D．x﹣2y﹣4=0参考答案：A【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】设所求的方程为x﹣y+c=0，代点可得关于c的方程，解之代入可得．【解答】解：由题意可设所求的方程为2x﹣y+c=0，代入已知点（2，1），可得4﹣1+c=0，即c=﹣3，故所求直线的方程为：2x﹣y﹣3=0，故选：A．10.若函数为奇函数，且在上为减函数，则的一个值为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D由题意得，∵函数为奇函数，∴，故．当时，，在上为增函数，不合题意．当时，，在上为减函数，符合题意．选D．

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(

)A.2

B.1

C.

D.参考答案：B略12.已知曲线y=ex+ax(e为自然对数的底数）在点(0,1)处的切线与直线x+3y-4=0垂直，则实数a=

.参考答案：2直线的斜率为，，.13.定义在R上的偶函数y＝f(x)，当x≥0时，y＝f(x)是单调递增的，f(1)·f(2)<0.则函数y＝f(x)的图象与x轴的交点个数是________．参考答案：2略14.下列四个命题：①?x∈（0，+∞），；

②?x∈（0，+∞），log2x＜log3x；③?x∈（0，+∞），；④?x∈（0，），．其中正确命题的序号是．参考答案：①②④【考点】特称命题；全称命题．【专题】函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】特称命题，取特殊值进行验证其正确性；全称命题的正确性必须严格证明．【解答】解：对于①，x=1时，命题成立；对于②，x=时，log2x=﹣1，log3x=﹣log32，命题成立；对于③，函数与互为反函数，交于直线y=x上一点，∴?x∈（0，+∞），不成立；④?x∈（0，），函数＜1，＞1，∴?x∈（0，），成立．故答案为：①②④．【点评】本题考查命题真假的判断，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．15.函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为

．参考答案：2x﹣y﹣e=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x=e时的导数值，然后由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，则f′（e）=lne+1=2，又f（e）=e，∴函数f（x）=xlnx在点（e，f（e））处的切线方程为y﹣e=2（x﹣e），即2x﹣y﹣e=0．故答案为：2x﹣y﹣e=0．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是基础题．16.已知向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，若=λ+，且⊥，则实数λ的值为．参考答案：【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】根据向量数量积的公式，结合向量垂直的关系即可得到结论．【解答】解：∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=3，∴?=||?||cos120°=2×=﹣3，∵=λ+，且⊥，∴?=（λ+）?=（λ+）?（）=0，即﹣?，∴﹣3λ+9+3﹣4λ=0，解得，故答案为：【点评】本题主要考查平面向量的基本运算，利用向量垂直和数量积之间的关系是解决本题的关键．17.函数的单调递增区间是

．参考答案：答案：(，+)解析：对f

(x)求导，f’

(x)=lnx+1,令f’

(x)>0得x>，从而知f

(x)的单调增区间为(，+)。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为,P点的极坐标为，在平面直角坐标系中，直线l经过点P，斜率为.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值.参考答案：(1)曲线的方程为,点的直角坐标为(0,3)直线的参数方程为(参数).(2)设,将直线的参数方程代入曲线的方程得整理得,由韦达定理可知,,则19.已知函数，，(I)若，求函数的极值；(II)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同的两点，使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由.参考答案：略20.某支教队有8名老师，现欲从中随机选出2名老师参加志愿活动，（1）若规定选出的至少有一名女老师，则共有18种不同的需安排方案，试求该支教队男、女老师的人数；（2）在（1）的条件下，记X为选出的2位老师中女老师的人数，写出X的分布列.参考答案：（1）男老师5人，女老师3人（2）见解析【分析】（1）先设男老师总共有人，则女老师共有人，根据题意得到，求解即可得出结果；（2）先由题意确定的可能取值，求出对应概率，即可得出分布列.【详解】（1）不妨设男老师总共有人，则女老师共有人，（，）从这8位老师中选出至少1名女老师，共有种不同的方法，即有：，解得，所以该支教队共有男老师5人，女老师3人（2）的可能取值为0，1，2，表示选派2位男老师，这时，表示选派1位男老师与1位女老师，这时，表示选派2位女老师，这时，的分布列为：012【点睛】本题主要考查由组合数求参数的问题、以及离散型随机变量的分布列，熟记定义，结合题中条件，即可求解，属于常考题型.21.已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图为直角梯形，已知几何体的体积为．（I）求实数的值；（II）将直角三角形绕斜边旋转一周，求该旋转体的表面积．

参考答案：

解析：（1）由该几何体的三视图知AC⊥面BCED，且EC=BC=AC=4，BD=，体积；

（2）在中，，，，过B作AD的垂线BH，垂足为H，易得，该旋转体由两个同底的圆锥构成，圆锥底面半径为，所以圆锥底面周长为，两个圆锥的母线长分别为和2，故该旋转体的表面积为

略22.(本小题满分14分)已知，数列满足，，

（I）求数列的通项公式；

(Ⅱ)求数列中最大项.参考答案：（1）由题意：经化简变形得：

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