高中数学苏教版第2章函数映射的概念 苏教版 映射的概念 学案

2．3映射的概念学习目标1.了解映射的概念，掌握映射的三要素(难点)；2.会判断给出的两集合，能否构成映射(重点)．预习教材P46－47，完成下面问题：知识点一映射的概念一般地，设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从集合A到集合B的映射，记为f：A→B.【预习评价】下面各图表示的对应构成映射的有________．解析①②③这三个图所表示的对应都符合映射的定义，即A中的每一个元素在对应法则下，B中都有唯一的元素与之对应．对于④⑤，A中的每一个元素在B中有2个元素与之对应，所以不是A到B的映射；对于⑥，A中的元素a3，a4，在B中没有元素与之对应，所以不是A到B的映射．答案①②③知识点二映射与函数的关系名称区别与联系函数映射区别函数中的两个集合A和B必须是非空数集映射中的两个集合A和B可以是数集，也可以是其他集合，只要非空即可联系函数是一种特殊的映射；映射是函数概念的推广，但不一定是函数【预习评价】函数与映射有何区别与联系？提示函数是一种特殊的映射，即一个对应关系是函数，则一定是映射，但反之，一个对应关系是映射，则不一定是函数．题型一映射的判断【例1】以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应法则f：每一个班级都对应班里的学生．解(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射．规律方法映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．【训练1】设集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤4}，则下述对应法则f中，不能构成从A到B的映射的是________．①f：x→y＝x2 ②f：x→y＝3x－2③f：x→y＝－x＋4 ④f：x→y＝4－x2解析对于①，任一实数x都有唯一的x2与之对应，是映射，这个映射是一对一；对于②，任一x都有唯一3x－2与之对应，是映射，一对一．③类似于②.对于④，当x＝2时，由对应法则y＝4－x2得y＝0，在集合B中没有元素与之对应，所以④不能构成从A到B的映射．答案④题型二利用对应法则求对应元素【例2】设集合A和B为坐标平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B使集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，xy)，那么(1,2)在映射f作用下的对应元素为________；若在f作用下的对应元素为(－2，－3)，则它原来的元素为________．解析根据映射的定义，当x＝1，y＝2时，x＋y＝3，xy＝2，则(1,2)在映射f作用下的对应元素为(3,2)；由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝－2，,xy＝－3，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－3，))即(－2，－3)所对应的原来的元素为(－3,1)或(1，－3)．答案(3,2)(－3,1)或(1，－3)规律方法求一个映射(f：A→B)中，A中元素在B中的对应元素或B中元素在A中的对应元素的方法，主要是根据对应法则列方程或方程组求解．【训练2】已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，求A中元素eq\r(2)在B中的对应元素和B中元素eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,4)))在A中的对应元素．解将x＝eq\r(2)代入对应法则，可求出其在B中的对应元素为(eq\r(2)＋1,3)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝\f(3,2)，,x2＋1＝\f(5,4)，))可得x＝eq\f(1,2).所以eq\r(2)在B中的对应元素为(eq\r(2)＋1,3)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,4)))在A中的对应元素为eq\f(1,2).互动探究题型三映射的个数问题【探究1】已知A＝{a，b，c}，B＝{－1,2}．(1)从A到B可以建立多少个不同的映射？从B到A呢？(2)若f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，则从A到B的映射中满足条件的映射有几个？解(1)从A到B可以建立8个映射，如下图所示．从B到A可以建立9个映射，如图所示．(2)欲使f(a)＋f(b)＋f(c)＝0，需a，b，c中有两个元素对应－1，一个元素对应2，共可建立3个映射．【探究2】已知集合A＝{a，b，c}，B＝{1,2,3}，映射f：A→B满足A中元素a在B中的对应元素是1，问这样的映射有几个．解由已知f(a)＝1，所以，①f(b)＝f(c)＝1时有1个；②f(b)＝f(c)＝2或f(b)＝f(c)＝3时各有1个，共2个；③f(b)＝1，f(c)＝2时有1个；④f(b)＝1，f(c)＝3时有1个；⑤f(c)＝1，f(b)＝2时有1个；⑥f(c)＝1，f(b)＝3时有1个；⑦f(b)＝2，f(c)＝3时有1个；⑧f(b)＝3，f(c)＝2时有1个．综上可知，共有不同映射9个．【探究3】已知从集合A到集合B＝{0,1,2,3}的映射f：x→eq\f(1,|x|－1)，则集合A中的元素最多有几个？解∵f：x→eq\f(1,|x|－1)是从集合A到集合B的映射，∴A中的每一个元素在集合B中都应该有对应元素．令eq\f(1,|x|－1)＝0，该方程无解，分别令eq\f(1,|x|－1)＝1,2,3，解得x＝±2，x＝±eq\f(3,2)，x＝±eq\f(4,3)，∴集合A中的元素最多有6个．【探究4】设M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}．(1)求从M到N的映射个数；(2)从M到N的映射满足f(a)＞f(b)≥f(c)，试确定这样的映射f的个数．解(1)M中元素a可以对应N中的－2,0,2中任意一个，有3种对应方法，同理，M中元素b，c也各有3种对应方法．因此从M到N的映射个数为3×3×3＝27.(2)满足f(a)＞f(b)≥f(c)的映射是从M到N的特殊映射，可具体化，通过列表求解(如下表).f(a)f(b)f(c)0－2－22－2－220－2200故符合条件的映射有4个．规律方法(1)映射是一种特殊的对应，一对一，多对一均为映射，但一对多不构成映射．(2)判断两个集合的一种对应能否构成函数，首先判断能否构成映射，且构成映射的两个集合都是数集，这样的映射才能构成函数．①如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，那么从集合A到集合B的映射共有nm个，从B到A的映射共有mn个．②映射带有方向性，从A到B的映射与从B到A的映射是不同的．课堂达标1．若f：A中元素(x，y)对应B中的元素(x＋y，x－y)，则B中元素________与A中元素(1,2)对应，A中元素________与B中元素(1,2)对应．解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2＝3，,1－2＝－1，))得B中元素(3，－1)与A中(1,2)对应．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝1，,x－y＝2，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,2)，,y＝－\f(1,2)，))所以A中元素eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))与B中元素(1,2)对应．答案(3，－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))2．设集合A＝{1,2,3}，集合B＝{－1，－2，－3}，试问，从集合A到集合B的不同映射有________个．解析每个元素都有3种对应，所以3×3×3＝27.答案273．设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下表：映射f的对应法则如下：A中元素1234对应元素3421映射g的对应法则如下：A中元素1234对应元素4312则f(g(1))＝________.解析因为g(1)＝4，所以f(g(1))＝f(4)＝1.答案14．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，若B＝{1}，则A∩B＝________.解析由f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果B＝{1}，则A＝{－1,1}或A＝{－1}或A＝{1}，所以A∩B＝∅或{1}．答案∅或{1}5．已知B＝{－1,3,5}，若集合A使得f：x→3x－2是A到B的映射，求集合A.解由f：x→3x－2，分别令：3x－2＝－1，3x－2＝3,3x－2＝5，得x＝eq\f(1,3)，eq\f(5,3)，eq\f(7,3).∴A是集合{eq\f(1,3)，eq\f(5,3)，eq\f(7,3)}的非空子集．即A为：{eq\f(1,3)}，{eq\f(5,3)}，{eq\f(7,3)}，{eq\f(1,3)，eq\f(5,3)}，{eq\f(1,3)，eq\f(7,3)}，{eq\f(5,3)，eq