湖南省娄底市涟源石陶乡中学2021-2022学年高二数学文下学期期末试题含解析

湖南省娄底市涟源石陶乡中学2021-2022学年高二数学文下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是球的球面上的两点，为球面上的动点.若三棱锥的体积最大值为，则球的表面积为（）A. B. C. D.参考答案：A设球的半径为R，当平面时三棱锥的体积最大，，球的表面积为，选A.2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据三视图可确定几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱；依次计算出上下底面面积、大圆柱和小圆柱侧面积的一半以及轴截面的两个矩形的面积，加和得到结果.【详解】由三视图可知，几何体为一个底面半径为的半圆柱中间挖去一个底面半径为的半圆柱几何体表面积：本题正确选项：【点睛】本题考查几何体表面积的求解问题，关键是能够通过三视图确定几何体，从而明确表面积的具体构成情况.3.圆：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0上的点到直线x﹣y=2的距离最大值是(

)A．2 B． C． D．参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题．【分析】先将圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0转化为标准方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，明确圆心和半径，再求得圆心（1，1）到直线x﹣y=2的距离，最大值则在此基础上加上半径长即可．【解答】解：圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为标准形式：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心为（1，1），半径为1圆心（1，1）到直线x﹣y=2的距离，则所求距离最大为，故选B．【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，当考查圆上的点到直线的距离问题，基本思路是：先求出圆心到直线的距离，最大值时，再加上半径，最小值时，再减去半径．4.与函数y＝|x|为同一函数的是(

)参考答案：B略5.已知函数的图象在点处的切线为l，若l也与函数，的图象相切，则必满足（）A. B.C. D.参考答案：D函数的导数为，图像在点处的切线的斜率为，切线方程为，设切线与相切的切点为，，即有的导数为，可得，切线方程为，令，可得，由，可得，且，解得，由，可得，令，，在时单调递增，且，，所以有的根，故选D.6.△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，b=sinB，则a等于（）A．3 B． C． D．参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理的式子，将题中数据直接代入，即可解出a长，得到本题答案．【解答】解：∵△ABC中，sinA=，b=sinB，∴根据正弦定理，得解之得a=故选：D7.己知双曲线E的中心在原点，F（5，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（9，），则E的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用点差法求出直线AB的斜率，再根据F（5，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为（9，），可建立方程组，从而可求双曲线的方程．【解答】解：由题意，不妨设双曲线的方程为E：﹣=1（a＞0，b＞0），∵F（5，0）是E的焦点，∴c=5，∴a2+b2=25．设A（x1，y1），B（x2，y2）则有：x1+x2=18，y1+y2=9，A，B代入相减可得AB的斜率，∵AB的斜率是=∴=，即16b2=9a2将16b2=9a2代入a2+b2=25，可得a2=16，b2=9，∴双曲线标准方程是=1．故选D．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查点差法解决弦的中点问题，考查学生的计算能力，解题的关键是利用点差法求出直线AB的斜率．8.设点是曲线上的点，又点，，下列结论正确的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C9.已知为正实数，且（

）A,

B

C

D参考答案：C10.已知圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=3，从点P（﹣1，﹣3）发出的光线，经x轴反射后恰好经过圆心C，则入射光线的斜率为（）A．﹣ B．﹣ C． D．参考答案：C【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【分析】根据反射定理可得圆心C（2，﹣1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，再由点P（﹣1，﹣3）也在入射光线上，利用斜率公式求得入射光线的斜率．【解答】解：根据反射定律，圆心C（2，﹣1）关于x轴的对称点D（2，1）在入射光线上，再由点P（﹣1，﹣3）也在入射光线上，可得入射光线的斜率为=，故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.点M，N分别是曲线上的动点，则|MN|的最小值是

。参考答案：112.已知-3+2i是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，（p、q∈R），则p+q=________;参考答案：3813.已知，则

参考答案：14.圆柱的侧面展开图是边长为和的矩形，则圆柱的体积为

参考答案：或15.某校老年教师90人、中年教师180人和青年教师160人，采用分层抽样的方法调查教师的身体情况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为．参考答案：18【考点】分层抽样方法．【分析】由题意，老年和青年教师的人数比为90：160=9：16，即可得出结论．【解答】解：由题意，老年和青年教师的人数比为90：160=9：16，设老年教师为x人则，解得x=18所以老年教师有18人，故答案为：18．16.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________；参考答案：略17.若关于x的不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1），则实数m=．参考答案：【考点】一元二次不等式的应用．【分析】由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根．根据韦达定理便可分别求出m和a的值．【解答】解：由不等式2x2﹣3x+a＜0的解集为（m，1）可知：x=m，x=1是方程2x2﹣3x+a=0的两根由韦达定理得：，解得：m=，a=1．【点评】本题考查一元二次不等式的解法．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，底面为正三角形的三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，D为线段B1C1中点．（Ⅰ）证明：AC1∥平面A1BD；（Ⅱ）在棱CC1上是否存在一点E，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1？若存在，请找出点E所在位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．参考答案：【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接AB1，交A1B于点F，连接DF，由DF∥AC1，能证明AC1∥平面A1BD．（Ⅱ）存在点E，为CC1中点，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1．证法1：推导出EF⊥A1B，EF⊥AB1，从而EF⊥平面A1ABB1，由此能证明平面A1BE⊥平面A1ABB1．证法2：取AB中点G，连接EF，CG，FG，推导出四边形CEFG为平行四边形，从而CG∥EF，进而CG⊥平面A1ABB1，由此能证明平面A1BE⊥平面A1ABB1．【解答】证明：（Ⅰ）连接AB1，交A1B于点F，连接DF，△AB1C1中，D，F分别为A1B，B1C1中点，所以DF∥AC1．…因为DF?平面A1BD，AC1?平面A1BD，所以AC1∥平面A1BD．…解：（Ⅱ）存在点E，为CC1中点，使得平面A1BE⊥平面A1ABB1…证明如下：方法1：△A1BE中，因为A1E=BE，且F为A1B中点，所以，EF⊥A1B．△AB1E中，同理有EF⊥AB1．…因为A1B∩AB1=F，A1B，AB1?平面A1ABB1，所以EF⊥平面A1ABB1…又EF?平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1…方法2：取AB中点G，连接EF，CG，FG．因为FG∥AA1，且，CE∥AA1，且，所以FG∥CE，且FG=CE，所以，四边形CEFG为平行四边形，所以CG∥EF…因为AA1⊥平面ABC，CG?平面ABC，所以CG⊥AA1．又CG⊥AB，且AA1∩AB=A，AA1，AB?平面A1ABB1，所以，CG⊥平面A1ABB1…因为CG∥EF，所以EF⊥平面A1ABB1…又EF?平面A1BE，所以，平面A1BE⊥平面A1ABB1…【点评】本题考查线面平行的证明，考查满足面面垂直的点是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19.某校高三数学竞赛初赛考试后，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示．若130～140分数段的人数为2人．（Ⅰ）求90～140分之间的人数；（Ⅱ）求这组数据的众数M及平均数N；（III）现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中共选出两人，形成帮扶学习小组．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．参考答案：解：（1）设90～140分之间的人数是n，由130～140分数段的人数为2，可知0.005×10×n＝2，得n＝40...……3分(2)众数M＝115...……5分平均数N＝95×0.1＋105×0.25＋115×0.45＋125×0.15＋135×0.05＝113....……8分(3)依题意，第一组共有40×0.01×10＝4人，记作A1、A2、A3、A4；第五组共有2人，记作B1、B2，从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：{A1，A2}、{A1，A3}、{A1，A4}、{A2，A3}、{A2，A4}、{A3，A4}、{A1，B1}、{A2，B1}、{A2，B2}、{A3，B1}、{A3，B2}、{A4，B1}、{A4，B2}、{A1，B2}、{B1，B2}．设事件A：选出的两人为“黄金搭档组”．若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，故P(A)＝....……14分

略20.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，、分别是、的中点.（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的大小.

参考答案：(2)略21.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若，，求m的取值范围.参考答案：（1）当时，，，则，，故曲线在点处的切线方程为，即.（2），当时，在上单调递减.当时，若，；若，.∴在上单调递减，在上单调递增.当时，若，；若，.∴在上单调递减，在上单调递增.（3）∵，∴由（2）知.设，，∵，∴.∴在上单调递增，∴，∴，故的取值范围为.22.（1）点P是椭圆+=1上的动点，求点P到直线4x+3y=12的最大距离；（2）已知