13.4课题学习 最短路径问题

13.4课题学习最短路径问题后预习目标：1.理解并掌握平面内一直线同侧两个点到直线上的某一点的距离之和为最小值时点的位置的确定。2.能利用轴对称解决实际问题路径最短的问题。3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。2.能利用轴对称平移解决实际问题中路径最短的问题。

3.通过独立思考，合作探究，培养学生运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐。

活动一：创设情境，设疑引思1、观察图片ABCEDF③①② 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选择走哪条路最近?你的理由是什么？理由：两点之间线段最短2、两点在一条直线异侧已知：如图，A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA＋PB最小.

方法：为什么这样做就得到最短距离呢？根据：

引言：

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．活动二：引入新知问题1

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B处，牧马人到河边什么地点饮马，可使他所走的路径最短？探索新知1BAl？？你能将这个问题抽象为数学问题吗？追问1

这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．B··Al追问1

对于问题2，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？探索新知2问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·追问2

你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？

作法：（1）作点B关于直线l的对称点B′；（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．

B·lA·B′C证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．探索新知3问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．B·lA·B′CC′追问1

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合），证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？追问2

回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′利用轴对称的有关知识使问题转化成“两点之间线段最短”运用新知 如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．ABCPQ山河岸大桥活动三：

基本思路：

由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR的和最小”．ABCPQ山河岸大桥问题2（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

活动四：课堂检测1、如图（造桥选址问题）A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直.)作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E

2.连接AE，交河岸与点M，则点M为建桥的位置，MN为所建的桥.ABMNab2、已知：如图，A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM、ON上各取一点B、C组成三角形，使三角形周长最小.析；分别作点A关于OM、ON的对称点A‘、A“，连接A’、A”分别交OM、ON于点B、点C，则点D、点C即为所求。AMNOBCA'A"3、（实际应用题)茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图a所示两直排(图中的AO，BO)