高中数学人教A版2本册总复习总复习单元测评3

单元测评(三)数系的扩充与复数的引入(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．“a＝0”是“复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0.答案：B2．复数eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,\r(2))))2＝a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)，则a2－b2的值为()A．0 B．1C．2 D．－1解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,\r(2))))2＝eq\f(1－2i＋i2,2)＝－i＝a＋bi.所以a＝0，b＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1.答案：D3．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·eq\x\to(z2)是实数，则实数t等于()\f(3,4) \f(4,3)C．－eq\f(4,3) D．－eq\f(3,4)解析：z1·eq\x\to(z2)＝(3＋4i)(t－i)＝(3t＋4)＋(4t－3)i，因为z1·eq\x\to(z2)是实数，所以4t－3＝0，所以t＝eq\f(3,4).答案：A4．如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i,0，那么这个正方形的第四个顶点对应的复数为()A．3＋i B．3－iC．1－3i D．－1＋3i解析：eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝1＋2i－2＋i＝－1＋3i，所以C点对应的复数为－1＋3i.答案：D5．设z∈C，若z2为纯虚数，则z在复平面上的对应点落在()A．实轴上 B．虚轴上C．直线y＝±x(x≠0)上 D．以上三项都不对解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z2＝(x＋yi)2＝x2－y2＋2xyi.∵z2为纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,xy≠0.))∴y＝±x(x≠0)．答案：C6．已知复数z＝x＋yieq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y∈R，x≥\f(1,2)))，满足|z－1|＝x，那么z在复平面上对应的点(x，y)的轨迹是()A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线解析：∵z＝x＋yi(x，y∈R，x≥eq\f(1,2))，满足|z－1|＝x，∴(x－1)2＋y2＝x2，故y2＝2x－1.答案：D7．当z＝－eq\f(1－i,\r(2))时，z100＋z50＋1的值等于()A．1 B．－1C．i D．－i解析：∵z2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,\r(2))))2＝eq\f(－2i,2)＝－i.∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1＝i50－i25＋1＝－i.答案：D8．复数z在复平面内对应的点为A，将点A绕坐标原点，按逆时针方向旋转eq\f(π,2)，再向左平移一个单位，向下平移一个单位，得到B点，此时点B与点A恰好关于坐标原点对称，则复数z为()A．－1 B．1C．i D．－i解析：设z＝a＋bi，B点对应的复数为z1，则z1＝(a＋bi)i－1－i＝(－b－1)＋(a－1)i，∵点B与点A恰好关于坐标原点对称，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b－1＝－a，,a－1＝－b，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0，))∴z＝1.答案：B9．如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋1＋i|的最小值是()A．1 \r(2)C．2 \r(5)解析：|z＋i|＋|z－i|＝2，则点Z在以(0,1)和(0，－1)为端点的线段上，|z＋1＋i|表示点Z到点(－1，－1)的距离．由图知最小值为1.答案：A10．设z1，z2是复数，则下列结论中正确的是()A．若zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＞0，则zeq\o\al(2,1)＞－zeq\o\al(2,2)B．|z1－z2|＝eq\r(z\o\al(2,1)＋z\o\al(2,2)－4z1z2)C．zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0⇔z1＝z2＝0D．|zeq\o\al(2,1)|＝|eq\x\to(z)1|2解析：A错，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i；B错，反例：z1＝2＋i，z2＝2－i；C错，反例：z1＝1，z2＝i；D正确，z1＝a＋bi，则|zeq\o\al(2,1)|＝a2＋b2，|eq\x\to(z1)|2＝a2＋b2，故|zeq\o\al(2,1)|＝|eq\x\to(z1)|2.答案：D第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．在复平面内，已知复数z＝x－eq\f(1,3)i所对应的点都在单位圆内，则实数x的取值范围是__________．解析：∵z对应的点Zeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，－\f(1,3)))都在单位圆内，∴|OZ|＜1，即eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))2)＜1.∴x2＋eq\f(1,9)＜1，∴x2＜eq\f(8,9)，∴－eq\f(2\r(2),3)＜x＜eq\f(2\r(2),3).答案：－eq\f(2\r(2),3)＜x＜eq\f(2\r(2),3)12．定义运算eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc，则对复数z＝x＋yi(x，y∈R)符合条件eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1,z2i))＝3＋2i的复数z等于__________．解析：由定义运算，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1,z2i))＝2zi－z＝3＋2i，则z＝eq\f(3＋2i,－1＋2i)＝eq\f(3＋2i－1－2i,－1＋2i－1－2i)＝eq\f(1,5)－eq\f(8,5)i.答案：eq\f(1,5)－eq\f(8,5)i13．设x，y为实数，且eq\f(x,1－i)＋eq\f(y,1－2i)＝eq\f(5,1－3i)，则x＋y＝__________.解析：eq\f(x,1－i)＋eq\f(y,1－2i)＝eq\f(5,1－3i)⇒eq\f(x1＋i,1－i1＋i)＋eq\f(y1＋2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(51＋3i,1－3i1＋3i)⇒eq\f(1,2)x(1＋i)＋eq\f(1,5)y(1＋2i)＝eq\f(1,2)(1＋3i)⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(1,5)y＝\f(1,2)，,\f(1,2)x＋\f(2y,5)＝\f(3,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝5，))所以x＋y＝4.答案：414．已知复数z0＝3＋2i，复数z满足z·z0＝3z＋z0，则复数z＝__________.解析：z＝eq\f(z0,z0－3)＝eq\f(3＋2i,2i)＝eq\f(3i－2,－2)＝1－eq\f(3,2)i.答案：1－eq\f(3,2)i三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)已知复数z1满足(z1－2)i＝1＋i，复数z2的虚部为2，且z1·z2为实数，求z2.解：由(z1－2)i＝1＋i得，z1－2＝eq\f(1＋i,i)＝(1＋i)(－i)＝1－i，∴z1＝3－i.(6分)依题意可设z2＝x＋2i(x∈R)，则z1·z2＝(3－i)(x＋2i)＝3x＋2＋(6－x)i为实数，∴x＝6，∴z2＝6＋2i.(12分)16．(12分)设z1是方程x2－6x＋25＝0的一个根．(1)求z1；(2)设z2＝a＋i(其中i为虚数单位，a∈R)，若z2的共轭复数eq\x\to(z2)满足|zeq\o\al(3,1)·eq\x\to(z2)|＝125eq\r(5)，求zeq\o\al(2,2).解：(1)因为Δ＝62－4×25＝－64，所以z1＝3－4i或z1＝3＋4i.(4分)(2)由|(3±4i)3·(a－i)|＝625，得125eq\r(a2＋1)＝125eq\r(5)，a＝±2.(8分)当a＝－2时，zeq\o\al(2,2)＝(－2＋i)2＝3－4i；(10分)当a＝2时，zeq\o\al(2,2)＝(2＋i)2＝3＋4i.(12分)17．(12分)设w＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，(1)求证：1＋w＋w2＝0；(2)计算：(1＋w－w2)(1－w＋w2)．解：(1)证明：∵w＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，∴w2＝(－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i)2＝eq\f(1,4)＋2(－eq\f(1,2))(eq\f(\r(3),2)i)＋(eq\f(\r(3),2)i)2＝eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),2)i－eq\f(3,4)＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i.∴1＋w＋w2＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i＝0.(6分)(2)由1＋w＋w2＝0知，(w－1)(1＋w＋w2)＝0，∴w3－1＝0，∴w3＝1.∴(1＋w－w2)(1－w＋w2)＝(－2w2)(－2w)＝4w3＝4.(12分)18．(14分)设z1，z2∈C，(1)求证：|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2|z1|2＋2|z2|2；(2)设|z1|＝3，|z2|＝5，|z1＋z2|＝6，求|z1－z2|.解：(1)证明：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝|(a＋c)＋(b＋d)i|2＋|(a－c)＋(b－d)i|2＝(