高中数学高考三轮冲刺 应用题（应用题）

公道中学应用题备选梁习云刘勤1、一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．（1）若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率；（2）若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率；（3）若抛掷两次，以第一次朝下面上的数字为横坐标，第二次朝下面上的数字为纵坐标，求点（）落在直线下方的概率．解：（1）记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A，抛掷这颗正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有{2，3，4}，{1，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，共有4种情形，其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则（2）记事件“抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于7”为B，两次朝下面上的数字构成的数对有共有16种情况，其中能够使得数字之积大于7的为（2，4），（4，2）（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）共6种，则P（B）=（3）记事件“抛掷后点（a,b）在直线x-y=1的下方”为C，要使点（a,b）在直线`x-y=1的下方，则须b<a-1，当b=1时，a=3或4；当b=2时，a=4，则所求的概率P（C）=2．某个公园有个池塘，其形状为直角△ABC，∠C＝90°，AB＝200米，BC＝100(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在AB、BC、CA上取点D，E，F，如图(1)，使得EF∥AB，EF⊥ED，在△DEF喂食，求△DEF面积S△DEF的最大值；(2)现在准备新建造一个荷塘，分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，如图(2)，建造△DEF连廊(不考虑宽度)供游客休憩，且使△DEF为正三角形，求△DEF边长的最小值．解(1)Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝200米，BC＝100∴cosB＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(1,2)，可得B＝60°∵EF∥AB，∴∠CEF＝∠B＝60°设eq\f(CE,CB)＝λ(0＜λ＜1)，则CE＝λCB＝100λ米，Rt△CEF中，EF＝2CE＝200λ米，C到FE的距离d＝eq\f(\r(3),2)CE＝50eq\r(3)λ米，∵C到AB的距离为eq\f(\r(3),2)BC＝50eq\r(3)米，∴点D到EF的距离为h＝50eq\r(3)－50eq\r(3)λ＝50eq\r(3)(1－λ)米可得S△DEF＝eq\f(1,2)EF·h＝5000eq\r(3)λ(1－λ)米2∵λ(1－λ)≤eq\f(1,4)[λ＋(1－λ)]2＝eq\f(1,4)，当且仅当λ＝eq\f(1,2)时等号成立，∴当λ＝eq\f(1,2)时，即E为AB中点时，S△DEF的最大值为1250eq\r(3)米2(2)设正△DEF的边长为a，∠CEF＝α，则CF＝a·sinα，AF＝eq\r(3)－a·sinα.设∠EDB＝∠1，可得∠1＝180°－∠B－∠DEB＝120°－∠DEB，α＝180°－60°－∠DEB＝120°－∠DEB∴∠ADF＝180°－60°－∠1＝120°－α在△ADF中，eq\f(a,sin30°)＝eq\f(\r(3)－asinα,sin∠ADF)即eq\f(a,\f(1,2))＝eq\f(\r(3)－asinα,sin120°－α)，化简得a[2sin(120°－α)＋sinα]＝eq\r(3)∴a＝eq\f(\r(3),2sinα－\r(3)cosα)＝eq\f(\r(3),\r(7)sinα－φ)≥eq\f(\r(3),\r(7))＝eq\f(\r(21),7)(其中φ是满足tanφ＝eq\f(\r(3),2)的锐角)．∴△DEF边长最小值为eq\f(\r(21),7)米．3、已知舰A在舰B的正东，距离6公里，舰C在舰B的北偏西30，距离4公里，它们准备围找海洋动物，某时刻舰A发现动物信号，4秒后，舰B，C同时发现这种信号，A于是发射麻醉炮弹，设舰与动物都是静止的，动物信号的传播速度为1公里/1秒，求舰A炮击的方位角。解：为确定海洋动物的位置，首先的直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图），据题设，得B(-3,0),A(3,0),C(-5,2)且动物P(x,y)在BC的中垂线l上，∵BC中点M的坐标为(-4,)，kBC=-.∴l的方程为y-=(x+4)即：y=(x+7).................①又∵|PB|-|PA|=4(公里)∴P又在以B，A为焦点的双曲线右支上。双曲线方程为=1(x≥2)............