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文档简介
河南省驻马店市第四高级中学2021-2022学年高二数学文测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.用数字1、2、3、4、5可组成没有重复数字的三位数共有:A.10个
B.15个
C.60个 D.125个参考答案:C2.已知一个高度不限的直三棱柱ABC﹣A1B1C1,AB=4,BC=5,CA=6,点P是侧棱AA1上一点,过A作平面截三棱柱得截面ADE,给出下列结论:①△ADE是直角三角形;②△ADE是等边三角形;③四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体.其中有不可能成立的结论的个数是(
)A.0 B.1 C.2 D.3参考答案:B【考点】命题的真假判断与应用.【专题】运动思想;反证法;简易逻辑.【分析】因为是高度不限,所以①②都可能成立;③可对四个顶点分别讨论,用反证法逐个得出矛盾,得出结论.【解答】解:如图,做直三棱柱ABC﹣A1B1C1,AB=4,BC=5,CA=6,①不妨取AD=6,AE=10,DE=8,则△ADE是直角三角形,①可能成立;②不妨令AD=AE=DE=a(a>6),则△ADE是等边三角形,②可能成立;③假设四面体APDE为在一个顶点处的三条棱两两垂直的四面体,当A为直角顶点时,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,PA⊥底面ABC,则E,D分别与C,B重合,此时,∠EAD不是直角,与假设矛盾,假设不成立,当P为直角顶点时,可得PD∥AB,PE∥AC,由等角定理知则∠EPD不可能是直角,与假设矛盾,假设不成立,当E或D点为直角顶点时,不妨选E为直角顶点,则DE⊥EP,DE⊥EA,EP∩EA═A,EP?平面ACC1A1,EA?平面ACC1A1,则平面ACC1A1与平面BCC1B1垂直,则直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,可证∠ACB为二面角的平面角,∠ACB═90°,与题意矛盾,假设不成立.综上③错误.故选:B.【点评】考查了空间几何体的线面平行,垂直的应用.难点是③的分类判断.3.设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R,有大于零的极值点,则()A.a<﹣1 B.a>﹣1 C. D.参考答案:A【考点】利用导数研究函数的极值.【专题】压轴题;数形结合.【分析】先对函数进行求导令导函数等于0,原函数有大于0的极值故导函数等于0有大于0的根,然后转化为两个函数观察交点,确定a的范围.【解答】解:∵y=ex+ax,∴y'=ex+a.由题意知ex+a=0有大于0的实根,令y1=ex,y2=﹣a,则两曲线交点在第一象限,结合图象易得﹣a>1?a<﹣1,故选A.【点评】本题主要考查函数的极值与其导函数的关系,即函数取到极值时一定有其导函数等于0,但反之不一定成立.4.若集合A={x|ax2﹣ax+1<0}=?,则实数a的值的集合是(
)A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4} C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4}参考答案:D【考点】集合关系中的参数取值问题.【专题】计算题.【分析】由已知中集合A={x|ax2﹣ax+1<0}=ф,我们可以分a=0和两种情况进行讨论,最后综合讨论结果,即可得到答案.【解答】解:集合A={x|ax2﹣ax+1<0}=ф,等价于ax2﹣ax+1<0无解当a=0时,原不等式可化为1<0,满足条件;当a≠0时,ax2﹣ax+1<0无解?即解得:0<a≤4综上满足条件的实数a的集合为{a|0≤a≤4}故选D【点评】本题考查的知识点是集合关系中的参数取值问题,解题的关键是等价于ax2﹣ax+1<0无解,其中解答时易忽略对a=0的讨论,而错解为{a|0<a≤4},而错选C.5.如图,M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列命题①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交;②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直;③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交;④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行.其中真命题是()A.②③④ B.①③④ C.①②④ D.①②③参考答案:C【考点】直线与平面平行的性质;平面与平面垂直的性质.【分析】点M不在这两异面直线中的任何一条上,所以,过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交,①正确.②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直,正确.过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交,③不正确.④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行,正确.【解答】解:直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线,点M不在这两异面直线中的任何一条上,如图所示:取C1C的中点N,则MN∥AB,且MN=AB,设BN与B1C1交于H,则点A、B、M、N、H共面,直线HM必与AB直线相交于某点O.所以,过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交;故①正确.过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直,此垂线就是棱DD1,故②正确.过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交,故③不正确.过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行,此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面,故④正确.综上,①②④正确,③不正确,故选
C.【点评】本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质,体现了数形结合的数学思想.6.若{an}为等差数列,且a2+a5+a8=39,则a1+a2+…+a9的值为()A.117 B.114 C.111 D.108参考答案:A【考点】8F:等差数列的性质.【分析】由等差数列的性质可得,a2+a5+a8=3a5,从而可求a5,而a1+a2+…+a9=9a5,代入可求【解答】解:由等差数列的性质可得,a2+a5+a8=3a5=39∴a5=13∴a1+a2+…+a9=9a5=9×13=117故选A7.抛物线的焦点坐标为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C8.集合,则集合P∩Q的交点个数是(
)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个参考答案:B【分析】在同一坐标系中,画出函数和的图象,结合图象,即可求解,得到答案。【详解】由题意,在同一坐标系中,画出函数和的图象,如图所示,由图象看出,和只有一个交点,所以的交点个为1,故选:B.【点睛】本题主要考查了集合的交集,以及指数函数与对数函数的图象的应用,其中解答中在同一坐标系中作出两个函数的图象是解答的关键,着重考查了数形结合法的应用,属于基础题。9.在平面直角坐标系中,为不等式组,所表示的区域上一动点,则直线斜率的最小值为(
)A.2 B. C. D.参考答案:C10.已知一长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,,4,若该长方体的顶点都在一个球的球面上,则这个球的体积为()A.288π B.144π C.108π D.36π参考答案:D【考点】球的体积和表面积.【专题】数形结合;数形结合法;空间位置关系与距离.【分析】根据题意,得出长方体内接于球,球的直径等于长方体的对角线长,由此求出球的半径与体积.【解答】解:根据题意,长方体内接于球,所以球的直径为该长方体的对角线;即(2R)2=32++42=36,解得R=3;所以这个球的体积为V球=πR3=×π×33=36π.故选:D.【点评】本题考查了球的内接长方体以及球的体积的应用问题,也考查了空间想象能力,是基础题.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x>0,y>0,x+y=1,则+的最小值为.参考答案:9【考点】基本不等式.【分析】利用基本不等式的性质即可得出.【解答】解:∵x>0,y>0,x+y=1,∴+=(x+y)=5+=9,当且仅当x=2y=时取等号.故+的最小值为9.故答案为:9.【点评】本题考查了基本不等式的性质,属于基础题.12.某单位安排7位员工在春节期间大年初一到初七值班,每人值班1天,若7位员工中的甲、乙排在相邻的两天,丙不排在初一,丁不排在初七,则不同的安排方案共有_______参考答案:1008分析:本题的要求比较多,有三个限制条件,甲、乙排在相邻两天可以把甲和乙看做一个元素,注意两元之间有一个排列,丙不排在初一,丁不排在初七,则可以甲乙排初一、初二和初六、初七,丙排初七和不排初七,根据分类原理得到结果.详解:分两类:第一类:甲乙相邻排初一、初二或初六、初七,这时先安排甲和乙,有种,然后排丙或丁,有种,剩下的四人全排有种,因此共有种方法;第二类:甲乙相邻排中间,有种,当丙排在初七,则剩下的四人有种排法,若丙排在中间,则甲有种,初七就从剩下的三人中选一个,有种,剩下三人有种,所以共有种,故共有种安排方案,故答案为.点睛:该题考查的是由多个限制条件的排列问题,在解题的过程中,注意相邻问题捆绑法,特殊元素优先考虑的原则,利用分类加法计数原理求得结果.13.过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若(O为坐标原点),则
.参考答案:5过B引准线的垂线,垂足为N,连接AN,易知:A、O、N三点共线,∴,即故答案为:5
14.
参考答案:1515.焦点在直线上,且顶点在原点的抛物线标准方程为
_____
___。参考答案:x2=-12y或y2=16x16.椭圆的一个焦点是,那么
。参考答案:
解析:焦点在轴上,则17.若函数,则
.参考答案:e三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.在△ABC中,角A,B,C的对角边分别为a,b,c,B=,cosA=,b=(1)求sinC的值(2)求△ABC的面积.参考答案:【考点】正弦定理;余弦定理.【专题】计算题;三角函数的求值;解三角形.【分析】(1)运用同角的平方关系和两角和的正弦公式计算即可得到;(2)运用正弦定理和三角形的面积公式计算即可得到.【解答】解:(1)由cosA=,得sinA==,即有sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=+=;(2)由正弦定理可得,a===,则ABC的面积为S=absinC=×××=.【点评】本题考查正弦定理和面积公式的运用,考查两角和的正弦公式和同角的平方关系的运用,属于基础题.19.(16分)已知函数f(x)=2x,x∈R.(Ⅰ)解方程:f(2x)﹣f(x+1)=8;(Ⅱ)设a∈R,求函数g(x)=f(x)+a?4x在区间[0,1]上的最大值M(a)的表达式;(Ⅲ)若f(x1)+f(x2)=f(x1)f(x2),f(x1)+f(x2)+f(x3)=f(x1)f(x2)f(x3),求x3的最大值.参考答案:(Ⅰ)所给的方程即(2x)2﹣2?2x﹣8=0,可得2x=4或2x=﹣2(舍去),所以x=2.(Ⅱ)由于g(x)=2x+a?4x,x∈[0,1],令t=2x,则t∈[1,2],①当a=0时,M(a)=2;②当a≠0时,令,若a>0,则M(a)=h(2)=4a+2,若a<0,当,即时,M(a)=h(1)=a+1,当,即时,M(a)=h(2)=4a+2,当,即时,,综上,.(Ⅲ)由题意知:,化简可得,所以,其中,所以t≥4,由知的最大值是,又y=2x单调递增,所以.(Ⅰ)所给的方程即(2x)2﹣2?2x﹣8=0,可得2x=4或2x=﹣2(舍去),从而求得x的值.(Ⅱ)由于g(x)=2x+a?4x,x∈[0,1],令t=2x,则t∈[1,2],分①当a=0和②当a≠0两种情况,分别利用二次函数的性质,求得M(a)的解析式,综合可得结论.20.(本小题满分13分)设数列为等差数列,前项和为,已知,.(Ⅰ)求
的通项公式;(Ⅱ)若,求数列的前项和.参考答案:解:(Ⅰ)由……3分
………4分
………5分(Ⅱ)………11分………13分略21.已知点A(-2,0),B(2,0),直线AP与直线AB相交于点P,它们的斜率之积为,求点P的轨迹方程(化为标准方程).
参考答案:
解:设点P,
直线AP的斜率……(2分)
直线BP的斜率……(4分)
根据已知,有:……(7分)
化简得:
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