河南省周口市项城艺术高级中学2022高三数学理期末试卷含解析

河南省周口市项城艺术高级中学2022高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从中随机选取一个数，从中随机选取一个数，则关于的方程有两个不相等的实根的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C2.（5分）（2011?福建模拟）在各项均为正数的等比数列{an}中，a3a5=4，则数列{log2an}的前7项和等于（）A．7B．8C．27D．28参考答案：A【考点】：等差数列的前n项和；等比数列的性质．【专题】：计算题．【分析】：根据等比数列的性质，由已知的等式求出a4的值，然后利用对数的运算性质化简数列{log2an}的前7项和，把a4的值代入即可求出数列{log2an}的前7项和．【解答】：解：由a3a5=a42=4，又等比数列{an}的各项均为正数，∴a4=2，则数列{log2an}的前7项和S7=++…+====7．故选A【点评】：此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，掌握对数的运算性质，是一道基础题．3.（5分）已知向量=（m，1﹣n），=（1，2），其中m＞0，n＞0，若∥，则+的最小值是（）A．2B．3+2C．4D．3+参考答案：B【考点】：基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：根据向量平行，建立m，n的关系，利用基本不等式的性质即可得到结论．解：∵向量=（m，1﹣n），=（1，2），∴若∥，则2m﹣（1﹣n）=0，即2m+n=1，∴+=（+）（2m+n）=3+，当且仅当，即n=，即m=1﹣，n=时取等号．故最小值为3+2，故选：B．【点评】：本题主要考查基本不等式的应用，利用向量平行的坐标公式求出m，n的关系是解决本题的关键．4.用反证法证明命题“是无理数”时，假设正确的是()A．假设是有理数

B．假设是有理数C．假设或是有理数

D．假设是有理数参考答案：D略5.如图，圆O是边长为的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，，则的最大值为（

）A. B. C.2 D.参考答案：C【分析】建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，进而得到最大值.【详解】以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；根据三角形面积公式得到，可得到内切圆的半径为可得到点的坐标为：故得到故得到，故最大值为：2.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.6.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC内，曲线和曲线围成一个叶形图（阴影部分），向正方形AOBC内随机投一点（该点落在正方形AOBC内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：D略7.若复数z满足z（1+i）=4﹣2i（i为虚数单位），则|z|=（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】复数求模．【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．【解答】解：由z（1+i）=4﹣2i，得，∴．故选：D．8.过点P（2，3）的直线l与圆x2+y2=25相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程式是(

) A．2x+3y﹣13=0 B．2x﹣3y+5=0 C．3x﹣2y=0 D．3x+2y﹣12=0参考答案：A考点：直线和圆的方程的应用．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意得，点P在圆的内部，故当弦AB和点P与圆心的连线垂直时，弦AB最短，由垂直的条件求出弦的斜率，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程，再化为一般式．解答： 解：因为点P（2，3）到圆心（0，0）的距离等于，小于半径5，故此点在圆x2+y2=25的内部，故当弦AB和点P与圆心（0，0）的连线垂直时，弦AB最短．弦AB的斜率为=﹣，由点斜式求得弦AB所在的直线的方程为y﹣3=﹣（x﹣2），即2x+3y﹣13=0，故选A．点评：本题考查点与圆的位置关系的判断，以及用点斜式求直线的方程．9.已知向量，，则“”是“与夹角为锐角”的A．必要而不充分条件B.充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A略10.设是定义在上的偶函数，对，都有，且当时，，若在区间内关于的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是(

)

A.(1,2)

B.(2，＋∞)

C.(1,)

D.(,2)参考答案：【知识点】函数的零点与方程根的关系.权所有B9

【答案解析】D

解析：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（x）的图象关于y轴对称，∵对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），∴f（x）是周期函数，且周期为4；∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，∴其在区间（﹣2，6]内的图象如右图，∴在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实根可转化为，函数f（x）的图象与y=loga（x+2）的图象有且只有三个不同的交点，则loga（2+2）＜3，且loga（6+2）＞3解得，a∈（，2）．故选D．【思路点拨】作出在区间（﹣2，6]内函数f（x）的图象，将方程的根的个数化为函数图象交点的个数．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.直线x+2y=0被曲线x2+y2－6x－2y－15=0所截得的弦长等于

.参考答案：答案：412.当时，4x＜logax，则a的取值范围．参考答案：【考点】指、对数不等式的解法．【分析】若当时，不等式4x＜logax恒成立，则在时，y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方，在同一坐标系中，分析画出指数和对数函数的图象，分析可得答案．【解答】解：当时，函数y=4x的图象如下图所示若不等式4x＜logax恒成立，则y=logax的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）∵y=logax的图象与y=4x的图象交于（，2）点时，a=故虚线所示的y=logax的图象对应的底数a应满足＜a＜1故答案为：（，1）13.已知中心在原点的椭圆与双曲线的公共焦点、都在轴上，记椭圆与双曲线在第一象限的交点为，若是以（为左焦点）为底边的等腰三角形，双曲线的离心率为3，则椭圆的离心率为________参考答案：14.将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后的图形关于原点对称，则函数f（x）在[0，]上的最小值为

．参考答案：﹣

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在[0，]上的最小值．【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜）的图象向左平移个单位后，得到y=sin（2x++φ）的图象，再根据所得图象关于原点对称，可得+φ=kπ，即φ=kπ﹣，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=﹣，f（x）=sin（2x﹣）．∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=﹣时，f（x）取得最小值为﹣，故答案为：﹣．15.若直线是曲线的切线，则实数的值为

．参考答案：－e16.函数y=|x﹣1|+|x+4|的值域为

．参考答案：[5，+∞）【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】去绝对值号，根据一次函数的单调性求每段上函数的值域，求并集即可得出该函数的值域．【解答】解：；∴①x≤﹣4时，y=﹣2x﹣3≥5；②﹣4＜x＜1时，y=5；③x≥1时，x≥5；∴该函数的值域为[5，+∞）．故答案为：[5，+∞）．【点评】考查函数值域的概念，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，一次函数的单调性．17.阅读如图3所示的程序框图，输出的结果的值为

▲

．参考答案：0

略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）某市十所重点中学进行高三联考，共有5000名考生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在这次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：

（1）根据上面频率分布表，求①，②，③，④处的数值（2）在所给的坐标系中画出区间[80，150]上的频率分布直方图；

(3)从整体中任意抽取3个个体,成绩落在［105，120］中的个体数目为ξ,求ξ的分布列和数学期望.参考答案：解析：(1)3

0.025

0.1

120

…………4分

(2)(略)

…………8分

(3)根据几何概型估计成绩落在［105，120］中的概率为,ξ0123p＝＝＝＝Eξ＝

…………12分19.如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点。（1）证明：；（2）求以为轴旋转所围成的几何体体积。

参考答案：解析：（1）连接交于，连接…………2分是正方形，∴为中点，为的中点，∴

…5分又平面,………………7分（2）过作的垂线，垂足为，则几何体为为半径，分别以为高的两个圆锥的组合体侧棱底面∴，，∴……9分…………10分

=…………12分=…………14分

20.（本题12分）设.(1)若a>0,讨论的单调性;

(2)若,证明:当∈[0,]时,参考答案：解：1）时，在上增

时，增，增，减;

时，增，增，减………………6分21.如图所示的几何体中，平面平面,为直角三角形，，四边形为直角梯形，，，，，.

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

参考答案：（Ⅰ）因为，，所以四边形是平行四边形.所以因为平面，平面，所以平面

……

4分（Ⅱ）因为平面平面,，平面，所以平面因为平面，所以因为，，平面，平面，所以平面

因为，所以平面

……

9分（Ⅲ）假设存在，过点作，交于，由（Ⅱ）可知平面，又因为平面，所以

又因为，，所以平面因为平面，所以.

……

12分连接，因为，，所以△的面积是.所以所以所以

……

14分22.（12分）质地均匀的正四面体玩具有4个面上分别刻着数字1，2，3，4。将4个这样的玩具同时抛掷于桌面上。

（1）求与桌面接触的4个面上数字中恰有两个偶数的