高中数学人教A版2第二章推理与证明 学业分层测评7

学业分层测评(七)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1.用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角”，下列假设中正确的是()A.有两个内角是钝角B.有三个内角是钝角C.至少有两个内角是钝角D.没有一个内角是钝角【解析】“最多有一个”的反设是“至少有两个”，故选C.【答案】C2.下列命题错误的是()A.三角形中至少有一个内角不小于60°B.四面体的三组对棱都是异面直线C.闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点D.设a，b∈Z，若a，b中至少有一个为奇数，则a＋b是奇数【解析】a＋b为奇数⇔a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误.【答案】D3.“自然数a，b，c中恰有一个偶数”的否定正确的为()，b，c都是奇数，b，c都是偶数，b，c中至少有两个偶数，b，c中都是奇数或至少有两个偶数【解析】自然数a，b，c的奇偶性共有四种情形：(1)3个都是奇数；(2)2个奇数，1个偶数；(3)1个奇数，2个偶数；(4)3个都是偶数.所以否定正确的是a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数.【答案】D4.设x，y，z都是正实数，a＝x＋eq\f(1,y)，b＝y＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1,x)，则a，b，c三个数()A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2【解析】若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6， ①而a＋b＋c＝x＋eq\f(1,x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f(1,z)≥6， ②显然①，②矛盾，所以C正确.【答案】C5.(2023·温州高二检测)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①A＋B＋C＝90°＋90°＋C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，A＝B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A，B，C中有两个直角，不妨设A＝B＝90°，正确顺序的序号为()A.①②③ B.①③②C.②③① D.③①②【解析】根据反证法的步骤，应该是先提出假设，再推出矛盾，最后否定假设，从而肯定结论.【答案】D二、填空题6.(2023·南昌高二检测)命题“任意多面体的面至少有一个是三角形或四边形或五边形”的结论的否定是__________________.【导学号：37820237】【解析】“至少有一个”的否定是“没有一个”.【答案】任意多面体的面没有一个是三角形或四边形或五边形7.(2023·汕头高二检测)用反证法证明命题“如果a>b，那么eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”时，假设的内容应是________.【解析】eq\r(3,a)与eq\r(3,b)的关系有三种情况：eq\r(3,a)>eq\r(3,b)，eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)和eq\r(3,a)<eq\r(3,b)，所以“eq\r(3,a)>eq\r(3,b)”的反设应为“eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)<eq\r(3,b)”.【答案】eq\r(3,a)＝eq\r(3,b)或eq\r(3,a)<eq\r(3,b)8.(2023·石家庄高二检测)设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2.其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号).【解析】若a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，则a＋b＝1，但a<1，b<1，故①不能推出.若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②不能推出.若a＝－2，b＝1，则a2＋b2>2，故④不能推出.对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1.反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.【答案】③三、解答题9.已知x∈R，a＝x2＋eq\f(1,2)，b＝2－x，c＝x2－x＋1，试证明：a，b，c至少有一个不小于1.【证明】假设a，b，c均小于1，即a<1，b<1，c<1，则有a＋b＋c<3.而与a＋b＋c＝2x2－2x＋eq\f(1,2)＋3＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up7(2)＋3≥3矛盾，故假设不成立，即a，b，c至少有一个不小于1.10.已知三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列.【证明】假设eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差数列，则eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b)，两边同时平方得a＋c＋2eq\r(ac)＝4b.把b2＝ac代入a＋c＋2eq\r(ac)＝4b，可得a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列，这与a，b，c不成等差数列矛盾.所以eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)不成等差数列.[能力提升]1.有以下结论：①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2；②已知a，b∈R，|a|＋|b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.下列说法中正确的是()A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确；②的假设错误D.①的假设错误；②的假设正确【解析】用反证法证题时一定要将对立面找准.在①中应假设p＋q>2，故①的假设是错误的，而②的假设是正确的.【答案】D2.已知命题“在△ABC中，A≠B.求证sinA≠sinB”.若用反证法证明，得出的矛盾是()A.与已知条件矛盾B.与三角形内角和定理矛盾C.与已知条件矛盾且与三角形内角和定理矛盾D.与大边对大角定理矛盾【解析】证明过程如下：假设sinA＝sinB，因为0<A<π，0<B<π，所以A＝B或A＋B＝π.其中A＝B与A≠B矛盾；A＋B＝π与三角形内角和定理矛盾，所以假设不成立.所以sinA≠sinB.【答案】C3.(2023·九江高二检测)有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”，四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________.【导学号：37820238】【解析】因为只有一人获奖，所以丙、丁只有一个说的对，同时甲、乙中只有一人说的对，假设乙说的对，这样丙就说的错，丁就说的对，也就是甲也说的对，与甲说的错矛盾，所以乙说的错，从而知甲、丙说的对，所以丙为获奖歌手.【答案】丙4.(2023·温州高二检测)设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列.【证明】假设数列{cn}是等比数列，则(an＋bn)2＝(an－1＋bn－1)(an＋1＋bn＋1). ①因为{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，设公比分别为p，q，所以aeq\o\al(2,n)＝an－1an＋1，beq\o\al(2,n)＝bn－1bn＋1.代入①并整理，得2anbn＝an＋1bn－1＋an－1bn＋1＝anbneq\b\lc\(\