高中数学人教A版5证明不等式的基本方法 学业分层测评6

学业分层测评（六）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a＞2，b＞2，则()A．ab≥a＋b B．ab≤a＋bC．ab＞a＋b ＜a＋b【解析】∵a＞2，b＞2，∴eq\f(a,2)－1＞0，eq\f(b,2)－1＞0，则ab－(a＋b)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－1))＋beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a－1))＞0，∴ab＞a＋b.【答案】C2．已知a＞b＞－1，则eq\f(1,a＋1)与eq\f(1,b＋1)的大小关系为()\f(1,a＋1)＞eq\f(1,b＋1) \f(1,a＋1)＜eq\f(1,b＋1)\f(1,a＋1)≥eq\f(1,b＋1) \f(1,a＋1)≤eq\f(1,b＋1)【解析】∵a＞b＞－1，∴a＋1＞0，b＋1＞0，a－b＞0，则eq\f(1,a＋1)－eq\f(1,b＋1)＝eq\f(b－a,a＋1b＋1)＜0，∴eq\f(1,a＋1)＜eq\f(1,b＋1).【答案】B3．a，b都是正数，P＝eq\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))，Q＝eq\r(a＋b)，则P，Q的大小关系是()【导学号：32750031】A．P＞Q B．P＜QC．P≥Q ≤Q【解析】∵a，b都是正数，∴P＞0，Q＞0，∴P2－Q2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(a)＋\r(b),\r(2))))eq\s\up21(2)－(eq\r(a＋b))2＝eq\f(－\r(a)－\r(b)2,2)≤0(当且仅当a＝b时取等号)，∴P2－Q2≤0.∴P≤Q.【答案】D4．下列四个数中最大的是()A．lg2 B．lgeq\r(2)C．(lg2)2 (lg2)【解析】∵0＜lg2＜1＜eq\r(2)＜2，∴lg(lg2)＜0＜lgeq\r(2)＜lg2，且(lg2)2＜lg2，故选A.【答案】A5．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系是()A．a5<b5 B．a5>b5C．a5＝b5 D.不确定【解析】设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，则a5－b5＝a1q4－(b1＋4d)＝a1q4－(a1＋4d)．∵a3＝b3，∴a1q2＝b1＋2d，即a1q2＝a1＋2d，∴aeq\o\al(2,1)q4＝(a1＋2d)2＝aeq\o\al(2,1)＋4a1d＋4d2，∴a5－b5＝eq\f(a\o\al(2,1)q4－a1a1＋4d,a1)＝eq\f(a\o\al(2,1)＋4a1d＋4d2－a1a1＋4d,a1)＝eq\f(4d2,a1).∵a1>0，d≠0，∴a5－b5>0，∴a5>b5.【答案】B二、填空题6．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________.【导学号：32750032】【解析】P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2.∵P>Q，∴P－Q>0，即(ab－1)2＋(a＋2)2>0，∴ab≠1或a≠－2.【答案】ab≠1或a≠－27．若x＜y＜0，M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)(x＋y)，则M，N的大小关系为________．【解析】M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，∴－2xy(x－y)＞0，∴M－N＞0，即M＞N.【答案】M＞N8．已知a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，则eq\r(1＋a)与eq\f(1,\r(1－b))的大小关系是________．【解析】∵a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，∴(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab＞1.从而eq\f(\r(1＋a),\f(1,\r(1－b)))＝eq\r(1＋a1－b)＞1，∴eq\r(1＋a)＞eq\f(1,\r(1－b)).【答案】eq\r(1＋a)＞eq\f(1,\r(1－b))三、解答题9．已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.【证明】∵a＞2，则a－1＞1，∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0，由于eq\f(logaa－1,loga＋1a)＝loga(a－1)·loga(a＋1)＜eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(logaa－1＋logaa＋1,2)))eq\s\up21(2)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(logaa2－1,2)))eq\s\up21(2).∵a＞2，∴0＜loga(a2－1)＜logaa2＝2，∴eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(logaa2－1,2)))eq\s\up21(2)＜eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(logaa2,2)))eq\s\up21(2)＝1，因此eq\f(logaa－1,loga＋1a)＜1.∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a.10．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．(1)求q的值；(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．【解】(1)由题设知2a3＝a1＋a2，即2a1q2＝a1＋a1q.又a1≠0，∴2q2－q－1＝0，∴q＝1或－eq\f(1,2).(2)若q＝1，则Sn＝2n＋eq\f(nn－1,2)＝eq\f(n2＋3n,2)＝eq\f(nn＋3,2).当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝eq\f(n－1n＋2,2)＞0，故Sn＞bn.若q＝－eq\f(1,2)，则Sn＝2n＋eq\f(nn－1,2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(－n2＋9n,4)＝eq\f(－n－9n,4).当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝－eq\f(n－1n－10,4)，故对于n∈N＋，当2≤n≤9时，Sn＞bn；当n＝10时，Sn＝bn；当n≥11时，Sn＜bn.[能力提升]1．已知a＞0，b＞0，m＝eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))，eq\r(n)＝eq\r(a)＋eq\r(b)，p＝eq\r(a＋b)，则m，n，p的大小顺序是()A．m≥n＞p B．m＞n≥pC．n＞m＞p ≥m＞p【解析】由已知m＝eq\f(a,\r(b))＋eq\f(b,\r(a))，n＝eq\r(a)＋eq\r(b)，得a＝b＞0时m＝n，可否定B，C.比较A，D项，不必论证与p的关系．取特值a＝4，b＝1，则m＝4＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,2)，n＝2＋1＝3，∴m＞n，可排除D.【答案】A2．设m＞n，n∈N*，a＝(lgx)m＋(lgx)－m，b＝(lgx)n＋(lgx)－n，x＞1，则a与b的大小关系为()A．a≥b B．a≤bC．与x值有关，大小不定 D.以上都不正确【解析】要比较a与b的大小，通常采用比较法，根据a与b均为对数表达式，只有作差，a与b两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a与b的大小．a－b＝lgmx＋lg－mx－lgnx－lg－nx＝(lgmx－lgnx)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,lgnx)－\f(1,lgmx)))＝(lgmx－lgnx)－eq\f(lgmx－lgnx,lgmxlgnx)＝(lgmx－lgnx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,lgmxlgnx)))＝(lgmx－lgnx)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,lgm＋nx))).∵x＞1，∴lgx＞0.当0＜lgx＜1时，a＞b；当lgx＝1时，a＝b；当lgx＞1时，a＞b.∴应选A.【答案】A3．一个个体户有一种商品，其成本低于eq\f(3500,9)元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．【解析】设这种商品的成本费为a元．月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×%，月末售出的利润为L2＝120－2%a，则L1－L2＝100＋＋－120＋＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(3500,9)))，∵a＜eq\f(3500,9)，∴L1＜L2，月末出售好．【答案】月末4．若实数x，y，m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2abeq\r(ab).【证明】∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴a2b＋ab2＞2abeq\r(ab)，a3＋b3＞2abeq\r(ab).∴a2b＋ab2－2abeq\r(ab)＞0，a3＋b3－2abeq\r(ab)＞0.∴|a