高中数学北师大版3第一章计数原理排列 第1章2排列的应用

第2课时排列的应用1．进一步加深对排列概念的理解．(重点)2．掌握几种有限制条件的排列问题的处理方法，能应用排列数公式解决简单的实际问题．(难点)[基础·初探]教材整理排列的综合应用阅读教材P10“例2”“例3”“例4”部分，完成下列问题．1．解简单的排列应用题的基本思想2．解简单的排列应用题，首先必须认真分析题意，看能否把问题归结为排列问题，即是否有顺序．如果是的话，再进一步分析，这里n个不同的元素指的是什么，以及从n个不同的元素中任取m个元素的每一种排列对应的是什么事情，然后才能运用排列数公式求解．1．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________．【解析】从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有Aeq\o\al(3,4)种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×Aeq\o\al(3,4)＝48个．【答案】482．从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的活动．若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译活动，则选派方案共有________种．【解析】翻译活动是特殊位置优先考虑，有4种选法(除甲、乙外)，其余活动共有Aeq\o\al(3,5)种选法，由分步乘法计数原理知共有4×Aeq\o\al(3,5)＝240种选派方案．【答案】240[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]无限制条件的排列问题(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？【精彩点拨】(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．【自主解答】(1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．[再练一题]1．(1)将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，不同的选法共有______种．【解析】(1)问题相当于从10张电影票中选出3张排列起来，这是一个排列问题．故不同分法的种数为Aeq\o\al(3,10)＝10×9×8＝720.(2)从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员，文娱委员与体育委员，应有Aeq\o\al(3,5)＝5×4×3＝60.【答案】(1)720(2)60排队问题7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)老师甲必须站在中间或两端；(2)2名女生必须相邻而站；(3)4名男生互不相邻；(4)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站．【精彩点拨】解决此类问题的方法主要按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先考虑特殊位子，若一个位子安排的元素影响另一个位子的元素个数时，应分类讨论．【自主解答】(1)先考虑甲有Aeq\o\al(1,3)种站法，再考虑其余6人全排，故不同站法总数为：Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160(种)．(2)2名女生站在一起有站法Aeq\o\al(2,2)种，视为一种元素与其余5人全排，有Aeq\o\al(6,6)种排法，所以有不同站法Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(6,6)＝1440(种)．(3)先站老师和女生，有站法Aeq\o\al(3,3)种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法Aeq\o\al(4,4)种，所以共有不同站法Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144(种)．(4)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有Aeq\o\al(4,4)种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2·eq\f(A\o\al(7,7),A\o\al(4,4))＝420(种)．解决排队问题时应注意的问题1．对于相邻问题可以采用捆绑的方法，将相邻的元素作为一个整体进行排列，但是要注意这个整体内部也要进行排列．2．对于不相邻问题可以采用插空的方法，先排没有限制条件的元素，再将不相邻的元素以插空的方式进行排列．3．对于顺序给定的元素的排列问题只需考虑其余元素的排列即可．4．“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先．[再练一题]2．3名男生，4名女生，按照不同的要求站成一排，求不同的排队方案有多少种．(1)甲不站中间，也不站两端；(2)甲、乙两人必须站两端．【解】(1)分两步，首先考虑两端及中间位置，从除甲外的6人中选3人排列，有Aeq\o\al(3,6)种站法，然后再排其他位置，有Aeq\o\al(4,4)种站法，所以共有Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(4,4)＝2880种不同站法．(2)甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有Aeq\o\al(2,2)种站法，其余5人全排列，有Aeq\o\al(5,5)种站法．故共有Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240种不同站法．[探究共研型]数字排列问题探究1偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？【提示】偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．探究2在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?【提示】在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．探究3如何从26,17,31,48,19中找出大于25的数？【提示】先找出十位数字比2大的数，再找出十位数字是2，个位数字比5大的数即可．用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的(1)六位奇数？(2)个位数字不是5的六位数？【精彩点拨】这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．【自主解答】(1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有Aeq\o\al(1,3)种填法，第二步再填十万位，有Aeq\o\al(1,4)种填法，第三步填其他位，有Aeq\o\al(4,4)种填法，故共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝288(个)六位奇数．法二：从特殊元素入手(直接法)0不在两端有Aeq\o\al(1,4)种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有Aeq\o\al(1,3)种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有Aeq\o\al(4,4)种排法，故共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(4,4)＝288(个)六位奇数．法三：排除法6个数字的全排列有Aeq\o\al(6,6)个，0,2,4在个位上的六位数为3Aeq\o\al(5,5)个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3Aeq\o\al(4,4)个，故满足条件的六位奇数共有Aeq\o\al(6,6)－3Aeq\o\al(5,5)－3Aeq\o\al(4,4)＝288(个)．(2)法一：排除法0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有Aeq\o\al(5,5)个，0在十万位且5在个位的六位数有Aeq\o\al(4,4)个．故符合题意的六位数共有Aeq\o\al(6,6)－2Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504(个)．法二：直接法十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有Aeq\o\al(5,5)个．第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)个．故共有符合题意的六位数Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(4,4)＝504(个)．解排数字问题常见的解题方法1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．[再练一题]3．用0,1,2,3,4,5这六个数取不同的数字组数．(1)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(2)能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？(3)若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240135是第几项．【解】(1)符合要求的五位数可分为两类：第一类，个位上的数字是0的五位数，有Aeq\o\al(4,5)个；第二类，个位上的数字是5的五位数，有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)个．故满足条件的五位数的个数共有Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,4)＝216(个)．(2)符合要求的比1325大的四位数可分为三类：第一类，形如2□□□，3□□□，4□□□，5□□□，共Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)个；第二类，形如14□□，15□□，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)个；第三类，形如134□，135□，共有Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)个．由分类加法计数原理知，无重复数字且比1325大的四位数共有：Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(1,2)·Aeq\o\al(1,3)＝270(个)．(3)由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有Aeq\o\al(5,5)个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3Aeq\o\al(4,4)个数，∴240135的项数是Aeq\o\al(5,5)＋3Aeq\o\al(4,4)＋1＝193，即240135是数列的第193项．[构建·体系]1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120C．720 D．240【解析】由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为Aeq\o\al(6,6)＝720.【答案】C2．要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有()A．1440种 B．960种C．720种 D．480种【解析】从5名志愿者中选2人排在两端有Aeq\o\al(2,5)种排法，2位老人的排法有Aeq\o\al(2,2)种，其余3人和老人排有Aeq\o\al(4,4)种排法，共有Aeq\o\al(2,5)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝960种不同的排法．【答案】B3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个.【导学号：62690010】【解析】先排奇数位有Aeq\o\al(4,4)种，再排偶数位有Aeq\o\al(3,3)种，故共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(3,3)＝144个．【答案】1444．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．【解析】分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有Aeq\o\al(2,2)＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有Aeq\o\al(2,2)＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有Aeq\o\al(3,3)＝6种排法．则共有2×2×6＝24种排法．【答案】245．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒