哈工大博弈论第7讲

经典案例(2):讨价还价博弈讨价还价(bargaining)是市场中最常见、普通的事情。也是博弈论中典型的动态博弈问题。讨价还价模型还可以推广到谈判问题。这里介绍的是讨价还价最为经典的模型。1经典案例(2):讨价还价博弈假设有两个人分割一块蛋糕，参与人1先出价(offer)，参与人2可以选择接受(accept)或拒绝(reject)；如果参与人2接受，博弈结束，蛋糕按参与人1的方案分配。如果参与人2拒绝，参与人2出价，参与人1决定接受或拒绝；如果参与人1接受，博弈结束，蛋糕按参与人2的方案分配。如果参与人1拒绝，参与人1再出价…2经典案例(2):讨价还价博弈上述过程反复进行，直到一个参与人的出价被另一个参与人接受为止。这是一个无限期完美信息博弈，参与人1在1,3,5,…出价，参与人2在时期2,4,6,…出价。3经典案例(2):讨价还价博弈若用x表示参与人1的份额，(1-x)表示参与人2的份额，x1和(1-x1)分别是参与人1出价时参与人1和参与人2的份额，x2和1-x2分别是参与人2出价时参与人1和参与人2的份额。假定参与人1和参与人2的贴现因子分别为δ1和δ2，如果博弈在时期t结束，t是参与人i的出价阶段，则参与人1支付的贴现值是π1=δ1t-1xi,参与人2支付的贴现值是π2=δ2t-1(1-xi)4经典案例(2):讨价还价博弈结合切蛋糕问题，贴现值既可以理解为资金的时间价值由于蛋糕由于未被分割出去所造成的自然缩减。双方的耐心程度。5经典案例(2):讨价还价博弈问题分析由于该博弈是无限期博弈，因此，不能直接采用逆推归纳法。为分析上述问题，先考虑阶段数有限的情形。6经典案例(2):讨价还价博弈有限阶段讨价还价问题假定博弈只进行两个时期，在T=2，参与人2出价，如果他提出x2=0,参与人1会接受(假定参与人在接受和拒绝之间无差异时，我们假定他选择接受)。因为博弈在T=2时，参与人1再没有讨价还价的机会。7经典案例(2):讨价还价博弈参与人2在T=2时得到的1单位等价于在t=1时的δ2单位，因此，如果参与人1在t=1时出价1-x1≥δ2,参与人2会接受；因为参与人1没有必要给参与人2多于他会接受的最低份额，博弈均衡结果是参与人1得到x=x1=1-δ2,参与人2得到1-x=δ28

(a)T=1时参与人1出价情况(b)T=2时参与人2出价情况

图2-18两阶段讨价还价示意δ21-δ2经典案例(2):讨价还价博弈9经典案例(2):讨价还价博弈再假定T=3在最后阶段，参与人1出价，他可以得到的最大份额是x1=1；因为参与人1在T=3时1单位等价于T=2时的δ1单位，因此，如果参与人2在T=2时出价x2=δ1,参与人1将会接受；因为参与人2在T=2的（1-δ1）单位等价于T=1时的δ2（1-δ1）,因此，如果参与人1在T=1时出价1-x1=δ2（1-δ1），参与人2将会接受。因此，子博弈精炼均衡结果是x=1-δ2（1-δ1）10当T=4,5,…等有限整数值时，仿照前述方法，可以推导出任何给定的T的子博弈精炼纳什均衡。如果δ1=δ2=0，不论T为多少，子博弈精炼均衡的结果是x=1；就是说，如果两个参与人都是绝对无耐心的，第一个出价的人得到整个蛋糕；如果δ2=0，不论δ1为多少，子博弈精炼均衡结果仍然是x=1;如果δ1=0,δ2>0,子博弈精炼均衡结果是x=1-δ2经典案例(2):讨价还价博弈11经典案例(2):讨价还价博弈如果δ1=δ2=1,即双方都有无限耐心，那么，如果T=1,3,5,…,均衡结果是x=1；如果T=2,4,6,…，均衡结果是x=0。这里的结果可以称之为“后动优势”（last-moveradvantage）12经典案例(2):讨价还价博弈一般说来，如果0<δi<1,i=1,2，均衡结果不仅依赖于贴现因子的相对比率，而且还依赖于博弈时期T和谁在最后阶段出价。然而，这种依存关系随着T的变大而变小当T趋于无穷时，我们得到“先动优势”：如果δ1=δ2=δ，唯一的纳什均衡结果为x=1/(1+δ)13无限阶段讨价还价问题罗宾斯坦恩(Rubinstein,1982):在无限期轮流出价博弈中，唯一的子博弈精炼纳什均衡结果是经典案例(2):讨价还价博弈14无限阶段讨价还价问题罗宾斯坦恩(Rubinstein,1982):在无限期轮流出价博弈中，唯一的子博弈精炼纳什均衡结果是如果δ1=δ2=δ，则经典案例(2):讨价还价博弈15经典案例(2):讨价还价博弈上述定理的证明由于T=∞,博弈没有最后阶段，不可能使用逆推归纳法。但根据Shaked,Sutton(1984)，因为从参与人1出价的任何一个阶段开始的子博弈等价于从T=1开始的整个博弈，因此可转换为有限阶段讨价还价问题。见图2-19。16从任一阶段开始的子博弈（t为奇数）…图2-19无限阶段讨价还价问题t=1t=2t=k…t=3从t=1阶段开始的整个博弈经典案例(2):讨价还价博弈17假定在时期t≥3时参与人1出价，参与人1能得到的最大份额是M;对参与人1而言，t期的M等价于t-1期的δ1M，参与人2知道在t-1时期的任何x2≥δ1M的出价将被参与人1接受，因此参与人出价x2=δ1M,自己获得1-δ1M;对于参与人2而言，t-1期的1-δ1M等价于t-2期的δ2(1-δ1M)，参与人知道在t-2期的任何x1<=1-δ2(1-δ1M)出价将被参与人2接受，因此参与人1出价x1=1-δ2(1-δ1M)t=1t=2t=k…t=3x=Mx=δ1Mx=1-δ2(1-δ1M)经典案例(2):讨价还价博弈18因此有x=1-δ2(1-δ1M)=M进而求得t=1t=2t=k…t=3x=Mx=δ1Mx=1-δ2(1-δ1M)经典案例(2):讨价还价博弈19与此类似，可求出参与人1能够获得的最小份额m,为经典案例(2):讨价还价博弈由于参与人1能得到的最大份额和最小份额相同，均衡结果是唯一的，为20多阶段静态博弈该类模型中至少在某个阶段参与人同时选择其决策。21多阶段静态博弈模型一例博弈中有四个参与人，分别用参与人1~4表示。第一阶段是参与人1与2的决策选择阶段，他们同时在各自的策略集A1和A2中分别选择a1和a2。第二阶段是参与人3与4决策选择阶段，他们看到参与人1和2的决策a1和a2后，同时在各自的策略集A3,A4中分别选择a3和a4。各参与人的支付函数是参与人的策略a1,a2,a3,a4的函数，记为ui

=ui

(a1,a2,a3,a4)22多阶段静态博弈有同时选择的动态博弈问题如国际竞争中最优关税博弈问题，两个制定关税的国家可看成标准模型中的参与人1与2；两国各自的一个相互进行产量竞争的企业就是模型中的参与人3于4。上述标准模型的变形，如某个阶段只有一个参与人；第二阶段的参与人3于4与第一阶段的参与人1与2相同等，也属于同时选择的动态博弈问题。23多阶段静态博弈这类模型实质上就是完美信息动态博弈，因此仍然可以采用逆推归纳法进行分析。因为存在同时选择，因此每个阶段不再是单人优化问题，而是一个静态博弈。24

1988年杭州市许多储蓄点被挤兑，原因是抢购风潮。

2000年6月河北省滦县发生银行挤兑，原因是滦县县政府行政干预金融业务，引发储户心理发慌。当月28日，滦县县政府召开有县土地局、质量技术监督局等5个单位参加的协调会，要求与会单位将存在建设银行滦县支行的公款转存到其他银行。此举引起一些群众对建行的信誉产生怀疑，造成部分储户恐慌，最终导致建设银行滦县支行的7个储蓄网点中先后有6个网点被挤提存款。这事件随在有关部门的努力下及时得到平息，但已严重干扰了金融秩序。25多阶段静态博弈简例：挤兑博弈问题描述：银行信贷对社会经济发展的作用无可估量，但它在带来巨大利益的同时也蕴含着一定的风险。设一家银行为了给一个企业贷放一笔20000元的贷款，以20%的年利率吸引客户存款。若两个客户各有10000元资金，如果他们把资金作为1年期定期存款存入该银行，那么银行就可以向企业贷款。如果两客户都不愿存款或只有一个客户存款，那么银行就无法给上述企业贷款，这时候客户的本金可以保全。26多阶段静态博弈简例：挤兑博弈在两个客户都存款，从而银行给上述企业提供贷款的情况下，如果银行满1年收回贷款，企业就能完成一笔生意，银行可收回贷款本息，并可支付存款客户的存款本息。如果在不到1年的时候，其中任何一个客户单独或同时要求提前取出存款，银行就不得不提前收回贷款。假设银行只能收回80%的本钱。若只有一个客户要求提前取款，则银行会偿还其全部本金，余款则属于另一客户；若两客户同时要求提前取款，则平分回收的资金。27多阶段静态博弈简例：挤兑博弈根据上述假设，可以用图2-20的两个矩阵表示该问题。不存存款不存1，11，1存款1，1下一阶段提前到期提前0.8,0.81,0.6到期0.6,11.2,1.2客户2客户1图2-20银行挤兑风险客户2客户1第一阶段第二阶段28多阶段静态博弈简例：挤兑博弈用逆推归纳法来分析该博弈。在第二个阶段的博弈。这是一个二人完全信息静态博弈，可以得出该博弈有两个纯策略纳什均衡（提前，提前）和（到期，到期）。对应的支付情况分别为(0.8,0.8)和(1.2,1.2)。分别为风险占优均衡和帕雷托占优均衡。提前到期提前0.8,0.81,0.6到期0.6,11.2,1.2客户2客户1第二阶段29多阶段静态博弈简例：挤兑博弈其中，风险占优均衡就是“挤兑”现象，而帕雷托占优则是金融健康的经济现象。若采用风险占优策略的客户比例较大，超出了银行承受能力，就可能会造成金融危机。提前到期提前0.8,0.81,0.6到期0.6,11.2,1.2客户2客户1第二阶段30如果第二个阶段博弈结果是比较理想的（到期，到期）纳什均衡，那么这时候第一阶段的博弈相当于图2-21的支付矩阵（完全信息静态博弈）。不存存款不存1，11，1存款1，1下一阶段提前到期提前0.8,0.81,0.6到期0.6,11.2,1.2第一阶段31如果第二个阶段博弈结果是比较理想的（到期，到期）纳什均衡，那么这时候第一阶段的博弈相当于图2-21的支付矩阵（完全信息静态博弈）。不存存款不存1，11，1存款1，11.2,1.2多阶段静态博弈简例：挤兑博弈图2-21第一阶段等价博弈(1)32此时也有两个纯战略纳什均衡，为（不存，不存），（存款，存款），且后一个均衡策略帕雷托优于前一个，同时也是风险占优均衡。因此，两客户都会选择存款给银行。这是银行融资信用很好起的作用。不存存款不存1，11，1存款1，11.2,1.2多阶段静态博弈简例：挤兑博弈图2-21第一阶段等价博弈(1)33如果第二个阶段博弈结果是不甚理想的（提前，提前）纳什均衡，那么这时候第一阶段的博弈支付如图2-22的矩阵。此时（不存，不存）是两客户的纳什均衡，也是占优均衡。因此，两客户都会选择“不存”，这相当于客户不再信任银行的情况。但这时候不会引起银行挤兑现象及金融危机。因为没有人存钱给银行。不存存款不存1，11，1存款1，10.8,0.8多阶段静态博弈简例：挤兑博弈图2-22第一阶段等价博弈(2)34多阶段静态博弈简例：挤兑博弈由该模型，可将由于挤兑导致的金融危机解释为：在金融稳定时期，社会闲散资金会选择银行；企业多数从银行贷款进行发展，但若从事的项目风险较大，有些企业可能到期不能偿还贷款；社会储户由于上述信息引起恐慌，引发挤兑现象；挤兑现象达到一定程度，引发一些银行倒闭；金融危机由此产生。35多阶段静态博弈简例：工作竞赛博弈论在经济、机制理论上的应用，是现代博弈论的一个重要应用领域。传统经济理论分析往往是“思辨似的”，“语言式的”分析方式，“一千个读者就有一千个哈姆雷特”。因此，在看似合理的分析的同时，可能产生不同甚至相互矛盾的结论也就不足为奇了博弈论以定量化分析为主要特色，分析更具有严密性。36工作竞赛问题描述有两个工人，工人i(i=1或2)的产出，可用yi=ei+εi，其中ei

是努力程度，εi是随机扰动项。多阶段静态博弈简例：工作竞赛37生产程序如下：第一，两个工人同时选择非负的努力水平ei≥0；第二，随机扰动项ε1，ε2彼此独立，并服从期望值为0、密度为f(ε)的概率分布；第三，工人的产出可以观测，但各自选择的努力水平无法观测，从而工人的工资可以决定于个人的产出，但无法直接取决于其努力水平。多阶段静态博弈简例：工作竞赛38老板的激励措施是，工作竞赛的优胜者（即产出水平较高的工人）获得的工资为wH;失败者的工资为wL.工人获得工资水平w并付出努力程度e时的收益为u(w,e)=w–g(e)，其中g(e)表示努力工作带来的负效用，是递增的凸函数（g’>0,g’’>0）。老板的收益为y1+y2-wH-wL多阶段静态博弈简例：工作竞赛39记老板为参与人1，他的行动a1是选择工作竞赛中的工资水平wH，wL；两个工人是参与人3，4，他们观测第一阶段选定的工资水平，然后同时选择行动a3,a4，也就是选择努力的程度e1,e2参与者各自的收益如前面所给出。多阶段静态博弈简例：工作竞赛40分析假定老板已经选定了工资水平wH，wL，如果一对努力水平组合(e1*,e2*)是第二阶段两工人博弈的纳什均衡，则对于每一个i,ei*必须使工人的期望工资减去努力带来的负效用后的净收益最大，即多阶段静态博弈简例：工作竞赛41进一步化简该式，得其中多阶段静态博弈简例：工作竞赛42进一步化简该式，得多阶段静态博弈简例：工作竞赛上式的一阶最优条件为43该式的含义是，工人i选择努力程度ei,从而使得额外努力的边际负效用g’等于增加努力的边际收益，后者又等于对优胜者的奖励工资（wH-wL），乘以因努力程度提高而使获胜概率的增加。多阶段静态博弈简例：工作竞赛44根据贝叶斯法则多阶段静态博弈简例：工作竞赛45于是一阶条件可化为多阶段静态博弈简例：工作竞赛46于是一阶条件可化为多阶段静态博弈简例：工作竞赛在对称均衡下，e1*=e2*=e*，得到新的式子47于是一阶条件可化为多阶段静态博弈简例：工作竞赛在对称均衡下，e1*=e2*=e*，得到新的式子48阶段结论由于g(e)是凸函数，优胜获得的奖励越高，就会激发更大的努力；另一方面，在同样的奖励水平下，对产出的随机扰动因素越大，越不值得努力工作，因为这时工作竞赛的最终结果在很大程度上取决于运气，而非努力程度。多阶段静态博弈简例：工作竞赛49按照逆向归纳法，假定工人们同意参加工作竞赛，对于给定的wH

和wL的反应，就是前面描述的对称纳什均衡策略多阶段静态博弈简例：工作竞赛50假定工人可以寻求其他就业机会，得到的效用为Ua,如果老板要使工人有动力参加工作竞赛，则他必须选择满足下式的工资水平多阶段静态博弈简例：工作竞赛51直观上就可看出，老板给出的工资水平在满足下式的基础上，越低越好。因此，成立多阶段静态博弈简例：工作竞赛52直观上就可看出，老板给出的工资水平在满足下式的基础上，越低越好。因此，成立多阶段静态博弈简例：工作竞赛53此时老板的利润为多阶段静态博弈简例：工作竞赛该式的一阶条件为54由式子多阶段静态博弈简例：工作竞赛该式的一阶条件为55可以得出多阶段静态博弈简例：工作竞赛该式的一阶条件为56可以得出多阶段静态博弈简例：工作竞赛与下式联立，就可得出老板的最优工资确定策略57前向归纳法前面已经说明，完美信息动态博弈的经典求解方法为逆序归纳法。还有一种分析方式，就是前向归纳法(forwardinduction)。前向归纳法由科尔博格和莫顿斯(1986)提出。这里不进行严格的数学描述，仅通过一个例题进行说明。58前向归纳法一例：烧钱博弈回顾博弈论的经典问题，性别战博弈PLAYER2LRT3,10,0B0,01,3图2-23

性别战博弈PLAYERl59前向归纳法一例：烧钱博弈该博弈有两个纯策略均衡(T,L),(B,R)以及一个混合策略均衡。PLAYER2LRT3,10,0B0,01,3图2-23

性别战博弈PLAYERl60前向归纳法一例：烧钱博弈现对博弈进行稍微修改，见图2-24图2-24

修改的性别战

3,10,00,01,3TBLR1InOut2,261前向归纳法一例：烧钱博弈这时博弈的合理结果是什么？图2-24

修改的性别战

3,10,00,01,3TBLR1InOut2,262前向归纳法一例：烧钱博弈如果博弈到达第2阶段…图2-24

修改的性别战

3,10,00,01,3TBLR1InOut2,263前向归纳法一例：烧钱博弈说明参与人1放弃了第一阶段获取2单位效用的机会…图2-24

修改的性别战

3,10,00,01,3TBLR1InOut2,264前向归纳法一例：烧钱博弈如果参与人是理性的，必然在第二阶段追求更好(>2)的结局。图2-24

修改的性别战

3,10,00,01,3TBLR1InOut2,265前向归纳法一例：烧钱博弈因此，在第二阶段，参与人1必然要选取策略T.图2-24

修改的性别战

3,10,00,01,3TBLR1InOut2,266前向归纳法一例：烧钱博弈预见到上述情况，参与人2将选择策略L图2-24

修改的性别战

3,10,00,01,3TBLR1InOut2,267前向归纳法一例：烧钱博弈因此，按照前向归纳法逻辑，合理结局是…图2-24

修改的性别战

3,10,00,01,3TBLR1InOut2,268重复博弈和无名氏定理重复博弈(repeatedgame)的定义指同样结构的博弈重复多次，其中的每次博弈称为“阶段博弈(stagegame)”。如两个多次犯罪的“囚徒问题”。由于动态博弈是相机行动，反映到重复博弈中，就是可以使自己在某个阶段的博弈选择依赖于其他参与人过去的行动历史。69重复博弈和无名氏定理如囚徒困境的重复博弈的一个策略可以是：“如果这次你选择了坦白，我下次将选择坦白；如果你这次选择了抵赖，我下次将选择抵赖”。因此，参与人在重复博弈中的战略空间远远大于和复杂于在每个阶段博弈中的战略空间。70重复博弈和无名氏定理影响重复博弈均衡结果的主要因素是博弈重复次数和信息的完备性(completeness)。重复次数对参与人可能会有的影响是：参与人为了获得长远利益而牺牲眼前利益的策略成为可能。关于完备性，简单地说，但一个参与人的支付函数不为其他参与人所知时，该参与人可能有积极性建立一个“好”的声誉(reputation)以换取长远利益。在社会行为中，经常可以看到本质不好的人在相当长的时期内干好事的原因。该部分内容在不完全信息动态博弈中再作分析。71重复博弈和无名氏定理有限次重复博弈：连锁店悖论考虑如图2-25所示的市场进入博弈。如果进入者先行动，则可表示为完全信息动态博弈的博弈树形式，见图2-26。图中A表示进入者，B表示在位者。图2-25市场进入博弈默许斗争进入40，50-10，0不进入0,3000,300在位者进入者72该博弈唯一的子博弈精炼纳什均衡结果是进入者进入，在位者默许，分别得到40和50的支付。不进入进入斗争默许(0,300)(0,300)图2-26市场进入博弈ABB(40,50)(-10,0)默许斗争重复博弈和无名氏定理73重复博弈和无名氏定理现在假定同样的市场有20个（可以理解为在位者有20个连锁店），进入者每次进入一个市场，博弈就变成了20次重复博弈。假定进入者先进入第1个市场，在位者应该作如何反应？按照一般的认识，在位者应该坚决进行斗争，即便是损失该市场，但可以阻止其他19个市场的进入者的进入。但按照子博弈精练纳什均衡分析方法，却与上述结论相左。74重复博弈和无名氏定理分析过程如下：设想前19个市场已被进入，进入者现在进入第20个市场。因为在最后阶段，选择斗争已没有任何威慑意义，在位者最优选择是默许，进入者将选择进入。现在考虑第19个市场。因为无论在位者选择什么行动，第20个市场上的均衡结果不受影响（因为进入者知道第20各市场上在位者将选择默许），在位者最优选择仍然是默许。75重复博弈和无名氏定理如此一直倒推回去，我们得到这个博弈的唯一子博弈精炼均衡是在位者在每一个市场上都选择默许，进入者在每一个市场上选择进入。这就是所谓的“连锁店悖论”(chain-storeparadox,Selten,1978)76重复博弈和无名氏定理囚徒困境问题与市场进入博弈类似，只要博弈的重复次数是有限的，最后阶段博弈的唯一纳什均衡是两个囚徒都选择坦白，且“总是坦白”是唯一的子博弈精炼均衡。上述结果可以一般化为下述定理。定理：令G是阶段博弈，G(T)是G重复T次的重复博弈(T<∞)。那么，如果G有唯一的纳什均衡，重复博弈G(T)的唯一子博弈精炼纳什均衡结果是阶段博弈G的纳什均衡重复T次（即每个阶段博弈出现的都是一次性博弈的均衡结果）。77重复博弈和无名氏定理上述定理说明，只要博弈的重复次数是有限的，重复本身并不改变囚徒困境的均衡结果。上述定理中“唯一性”是一个重要条件。如果纳什均衡不是唯一的，上述结论就不一定成立。当博弈有多个纳什均衡时，参与人可以使用不同的纳什均衡惩罚前面阶段的不合作行为或奖励第一阶段的合作行为。78重复博弈和无名氏定理前述连锁店悖论的一个解释是引入信息的不完全性。在不完全信息动态博弈中，可以看到这一点。这里先给出一个解释模型，即当博弈重复无穷多次而不是有限次时，存在着完全不同于一次博弈的子博弈精炼均衡。以囚徒问题为例，对此进行说明。79重复博弈和无名氏定理为便于讨论，将囚徒问题复制于此，见图2-27。可以证明，如果参与人有足够的耐心，（抵赖，抵赖）是一个子博弈精炼纳什均衡结果。图2-27囚徒困境问题坦白抵赖坦白-8，-80，-10抵赖-10,0-1,-1囚徒2囚徒180考虑下列所谓的“冷酷战略”(grimstrategies):开始时选择抵赖；选择抵赖直到有一方选择了坦白，然后永远选择坦白。重复博弈和无名氏定理图2-27囚徒困境问题坦白抵赖坦白-8，-80，-10抵赖-10,0-1,-1囚徒2囚徒181重复博弈和无名氏定理首先证明冷酷战略是一个纳什均衡回顾一下，所谓纳什均衡，就是这样的一个状态，对于任意一个参与人，给定其他参与人选择纳什均衡策略，该参与人都无法偏离纳什均衡策略。因此，证明囚徒问题中冷酷战略是一个纳什均衡的方法是：给定其中任意一个参与人坚持“冷酷战略”，另外一个参与人的最优选择也是坚持冷酷战略。82重复博弈和无名氏定理设a为贴现因子（假定两人贴现因子相同）。如果i在博弈的某个阶段首先选择了坦白，在该阶段得到0单位的支付，优于选择抵赖得到的-1。但这个机会主义行为将触发他的伙伴选择“永远坦白”的惩罚，因此i随后每个阶段的支付都是-8。因此，如果下列条件满足，给定对手没有选择坦白，i将不会选择坦白即83重复博弈和无名氏定理该式可以化简为a≥1/8同样道理，若对手首先选择了坦白，不论a的值为多少，参与人i都有积极性坚持冷酷战略。因此，冷酷战略是一个纳什均衡。84重复博弈和无名氏定理该战略是否是子博弈精炼均衡？因为博弈重复无限次，从任何一个阶段开始的子博弈与这个博弈的结构完全相同。在冷酷战略均衡下，子博弈可以分为两类：在类型a，没有任何参与人曾经坦白；在类型b，至少有一个参与人曾经坦白。85重复博弈和无名氏定理在类型a中，我们已经证明，冷酷战略在a类型子博弈