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广东省揭阳市业余中学2022年高二数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.设变量x,y满足约束条件:,则z=x﹣3y的最小值()A.﹣2 B.﹣4 C.﹣6 D.﹣8参考答案:D【考点】简单线性规划.【分析】我们先画出满足约束条件:的平面区域,求出平面区域的各角点,然后将角点坐标代入目标函数,比较后,即可得到目标函数z=x﹣3y的最小值.【解答】解:根据题意,画出可行域与目标函数线如图所示,由图可知目标函数在点(﹣2,2)取最小值﹣8故选D.2.点P是曲线上的动点,设点P处切线的倾斜角为,则的取值范围是(▲)A.
B.
C.
D.参考答案:B略3.在△ABC中,已知,则角A为
(
)(A)
(B)
(C)
(D)或参考答案:C4.与直线平行的直线可以是
A、
B、
C、
D、参考答案:C5.利用数学归纳法证明+++…+<1(n∈N*,且n≥2)时,第二步由k到k+1时不等式左端的变化是()A.增加了这一项B.增加了和两项C.增加了和两项,同时减少了这一项D.以上都不对参考答案:C【考点】RG:数学归纳法.【分析】当n=k时,写出左端,并当n=k+1时,写出左端,两者比较,关键是最后一项和增加的第一项的关系.【解答】解:当n=k时,左端=+++…+,那么当n=k+1时
左端=++…+++,故第二步由k到k+1时不等式左端的变化是增加了和两项,同时减少了这一项,故选:C.6.设平面的法向量为(1,2,-2),平面的法向量为(-2,-4,k),若∥,则k的值为(
)A.3
B.4
C.5
D.6参考答案:B7.在正项等比数列中,和为方程的两根,则等于
()A.16
B.32 C.64
D.256参考答案:C略8.下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是()A.y=x3 B.y=e﹣x C.y=﹣x2+1 D.y=lg|x|参考答案:C【考点】3K:函数奇偶性的判断;3E:函数单调性的判断与证明.【分析】根据偶函数的定义判断各个选项中的函数是否为偶函数,再看函数是否在区间(0,+∞)上单调递减,从而得出结论.【解答】解:y=x3为奇函数;y=e﹣x为非奇非偶函数;y=﹣x2+1符合条件,y=lg|x|在定义域(0,+∞)上为增函数.故选C.9.已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=﹣,则{an}的前10项和等于()A.﹣6(1﹣3﹣10) B. C.3(1﹣3﹣10) D.3(1+3﹣10)参考答案:C【考点】等比数列的前n项和.【专题】计算题;等差数列与等比数列.【分析】由已知可知,数列{an}是以﹣为公比的等比数列,结合已知可求a1,然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解:∵3an+1+an=0∴∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得,S10==3(1﹣3﹣10)故选C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题10.已知点,若直线过点与线段相交,则直线的斜率的取值范围是(
)A.
B.
C.
D.
参考答案:C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在命题“若m>-n,则m2>n2”的逆命题、否命题、逆否命题中,假命题的个数是________.参考答案:3
原命题为假命题,所以逆否命题也是假命题,逆命题“若m2>n2,则m>-n”,也是假命题,从而否命题也是假命题.12.如图,已知正方体,截去三个角,,后形成的几何体的体积与原正方体的体积之比值为
.参考答案:略13.若函数在上单调递增,则实数的取值范围是
▲
.参考答案:略14.(5分)对于三次函数,定义:设是函数的导数的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’;任何一个三次函数都有对称中心”,且‘拐点’就是对称中心.请你将这一发现作为条件.(1)函数的对称中心为________.(2)若函数
.参考答案:(1).(1,1)
(2)9.15.观察下列式子
,
……,则可据此归纳出的一般性结论为:________________________________参考答案:16.曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数()的点的轨迹。给出下列三个结论:(1)曲线C过坐标原点(2)曲线C关于坐标原点对称;(3)若点P在曲线C上,则的面积不大于。其中,所有正确结论的序号是
。参考答案:(2)(3)略17.设定义域为R的函数f(x)满足,则不等式的解集为__________.参考答案:(1,+∞)【分析】根据条件构造函数F(x),求函数的导数,利用函数的单调性即可得到结论.【详解】设F(x),则F′(x),∵,∴F′(x)>0,即函数F(x)在定义域上单调递增.∵∴,即F(x)<F(2x)∴,即x>1∴不等式的解为故答案为【点睛】本题主要考查函数单调性的判断和应用,根据条件构造函数是解决本题的关键.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.如图,在直三棱柱中,,,且是中点.(I)求证:平面;(Ⅱ)求证:平面.参考答案:证明:(I)连接交于点,连接[来网]因为为正方形,所以为中点,又为中点,所以为的中位线,所以
-----------------------3分又平面,平面所以平面
--------------------6分(Ⅱ)因为,又为中点,所以
--------------------7分
又因为在直三棱柱中,底面,又底面,所以,
--------------------9分又因为,所以平面,
--------------------10分又平面,所以
--------------------11分在矩形中,,所以,所以,即
--------------------13分又,所以平面
--------------------14分略19.在中,角所对的边为,已知(1)求的值;(2)若的面积为,求的值
参考答案:20.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,倒棱AA1⊥平面ABC,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,且EC=2FB=2.(Ⅰ)若点M是线段AC的中点,证明:(1)MB∥平面AEF;(2)平面AEF⊥平面ACC1A1;(Ⅱ)求三棱锥B﹣AEF的体积.参考答案:【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.【分析】(Ⅰ)(1)取线段AE的中点G,连结MG,由三角形中位线定理可得MG=,又MG∥EC∥BF,可得MBFG是平行四边形,故MB∥FG,由线面平行的判定可得MB∥平面AEF;(2)由MB⊥AC,平面ACC1A1⊥平面ABC,可得MB⊥平面ACC1A1,进一步得到FG⊥平面ACC1A1.由面面垂直的判定可得平面AEF⊥平面ACC1A1;(Ⅱ)作AD⊥BC于D,则AD⊥平面BEF,由等积法结合已知求出三棱锥A﹣BEF的体积得答案.【解答】(Ⅰ)证明:(1)取线段AE的中点G,连结MG,则MG=,又MG∥EC∥BF,∴MBFG是平行四边形,故MB∥FG.而FG?平面AEF,MB?平面AEF,∴MB∥平面AEF;(2)∵MB⊥AC,平面ACC1A1⊥平面ABC,∴MB⊥平面ACC1A1,而BM∥FG,∴FG⊥平面ACC1A1.∵FG?平面AEF,∴平面AEF⊥平面ACC1A1;(Ⅱ)解:作AD⊥BC于D,则AD⊥平面BEF,且AD=.于是.故.21.(本题满分12分)若复数,求实数使成立.(其中为的共轭复数)参考答案:或略22.为保护我国的稀土资源,国家限定某矿区的出口总量不能
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