第2章质点动力学

2012年6月29日9时20分神舟九号飞船的返回舱——黑障现象

第二章质点动力学

二、理解动量、冲量概念。

掌握动量定理和动量守恒定律.

三、掌握动能定理、能量守恒定律,掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法.教学基本要求

一、本章重点：用牛顿第二定律解决变力问题。

英国物理学家,经典物理学的奠基人.他对力学、光学、热学、天文学和数学等学科都有重大发现,其代表作《自然哲学的数学原理》(1687年

)是力学的经典著作.牛顿是近代自然科学奠基时期具有集前人之大成的伟大的科学家.牛顿

(IssacNewton)

（1643－1727）第一节牛顿运动定律任何物体，如果不受其他物体对它的作用，将继续保持其静止或匀速直线运动的状态。惯性

——

质点不受力时保持静止或匀速直线运动状态的的性质,其大小用质量量度。

力

——

使质点改变运动状态的原因。一、牛顿运动定律第一定律(惯性定律)••质点处于静止或匀速直线运动状态时：(静力学基本方程)牛顿第二定律牛顿第二定律：物体的动量随时间的变化率正比于作用在这个物体上的合外力。m方向：与速度同向动量的定义大小：取国际单位制（SI制）时，

k=1，则有当物体的质量不随时间变化时（宏观低速运动）结论：力是产生加速度的原因。直角坐标系中（宏观低速）:分量式讨论（1）牛顿第二定律只适用于质点的运动情况（2）高速运动中时质量随运动速度变化,必须考虑相对论效应问题(式中m0为静止质量,m为相对论质量,c为光速).（3）地球绕太阳平均公转速度

29.783(～30)km·s-1

，107218km·h-1

（4）地球自转平均速度

465km·s-1

，1675km·h-1牛顿第三定律第三定律揭示了力的两个性质:成对性

——

物体之间的作用是相互的。同时性

——

相互作用之间是相互依存，同生同灭。当物体A以力作用于物体B

时，物体B

也同时以力作用于物体A上，和总是大小相等，方向相反，且在同一直线上。••讨论:第三定律是关于力的定律，它适用于接触力。对于非接触的两个物体间的相互作用力，存在延迟效应(电场、磁场)。

1.万有引力质量为m1、m2

，相距为r的两质点间的万有引力大小为二、几种常见的力

2.重力

纬度45°标准：

赤道(纬度0°)：

北京(纬度40°)：3.弹力当两宏观物体有接触且发生微小形变时，形变的物体对与它接触的物体会产生力的作用，这种力叫弹力

。正压力（支持力）拉力（张力）弹性力：遵从胡克定律4.摩擦力当两相互接触的物体彼此之间保持相对静止，且沿接触面有相对运动趋势时，在接触面之间会产生一对阻止上述运动趋势的力，称为静摩擦力。（1）静摩擦力说明静摩擦力的大小随引起相对运动趋势的外力而变化。最大静摩擦力为

fsmax=µsN

(

µs为最大静摩擦系数，s—static)（2）滑动摩擦力两物体相互接触，并有相对滑动时，在两物体接触处出现的相互作用的摩擦力，称为滑动摩擦力。(

为滑动摩擦系数，k—kinetic)5.黏滞力当物体穿过液体或气体运动时，会受到流体阻力，阻力大小随速度变化。(1)当物体速度不太大时，流体阻力与物体速率成正比。(2)当物体穿过流体的速率超过某限度时（低于声速），流体出现旋涡，这时流体阻力与物体速率的平方成正比。(3)当物体与流体的相对速度提高到接近空气中的声速时，这时流体阻力将迅速增大。1马赫（Mach）=1个标准声速

1Ma=340m/s=1224km/h<0.3Ma(低速)；<0.8Ma(亚音速);0.8~

1.2Ma(跨音速);1.2~

5Ma(超音速);>5.0Ma(高超音速)应用：民用飞机飞行速度多为亚音速或高亚音速；战斗机可以达到3.0Ma或更高；高超音速飞机已达到7Ma（试验阶段）；航天飞机可以达到20Ma以上。【例题2-1】物体在黏滞流体中的运动。质量为m的小球在重力G（mg）、浮力F0、阻力f=－kυ（其中k是一个比例常数，它与小球的尺寸、材料与流体的黏度有关，而υ是小球的运动速度）的作用下竖直下降。试求：（1）小球的速度；（2）位置随时间变化的函数关系。解：该题为已知力求运动。以小球m为研究对象，画出受力图，并以小球运动直线为x轴，取其一点为原点O。由牛顿定律可写出三、牛顿运动定律的应用OGF0xf

【例题2-2】

由地面沿铅直方向发射质量为m的宇宙飞船，如图2-3所示。试求宇宙飞船能脱离地球引力所需的最小初速度。不计空气阻力及其它作用力。解：选宇宙飞船为研究对象。设地球为均质球，地心为原点，取x坐标轴向上为正。飞船只受地球引力作用，根据万有引定力定律，地球对飞船引力的大小为用R表示地球的半径，把代入上式得由牛顿第二定律得其中，负号引入是考虑到＜0。将上式化简得由于将其代入上式并分离变量得设飞船在地面附近（x≈R）发射时的初速度为

,在x处的速度为将上式积分，有由此解出得飞船要脱离地球引力的作用，即意味着飞船的末位置x趋于无限大而

≥0。把x→∞代入上式，即可求得飞船脱离地球引力所需的最小初速度（取地球的平均半径为6370km）为=11.2(km·s-1)这个速度称为第二宇宙速度。需要指出，在上面的分析中忽略了空气阻力，同时也未考虑地球自转等影响。1）确定研究对象进行受力分析；

(隔离物体，画受力图）2）建坐标系；3)列方程;利用约束条件列补充方程；4）求解，带入数据计算.

总结：解题的基本思路第二节动量定理动量守恒定理力与力作用时间的乘积m结论：质点的冲量等于动量的增量

一、冲量二、质点的动量定理xyzO质点动量的增量等于合力对质点作用的冲量——

质点动量定理

讨论:冲量方向在动量的增量方向——

平均冲力结论：冲量的任何分量等于在此方向上的动量分量的增量。动量定理的分量形式【例题2-3】质量M=3.0×103kg的重锤，从高度h=1.5m处自由落到受锻压的工件上，工件发生变形，试求作用时间分别为t1=0.1s和t2=0.01s时，锤对工件的平均冲力。?t=0.001s

解：取重锤为研究对象。在t这段时间内，作用在锤上的力有两个：

(1)重力G，方向向下；

(2)工件对锤的支持力N，方向向上。

N是个变力，在极短时间内迅速变化，取平均支持力

（方向向上）。

锤作自由落体运动，接触工件瞬间在这极短时间t内，锤的速度由初速度

变到末速度。取竖直向上的方向为坐标轴的正方向，根据动量定理得t1=0.1s时t2=0.01s时【讨论】锤自重3.0t，对冲力非常必要，但作用时间更为重要。t=0.01s时，锤对工件的平均冲力比锤的自重大56倍，t=0.001s时，大554倍，即1663吨。此时，锤的自重影响不明显，可忽略。t3=0.001s时质点系三、质点系的动量定理定理：合外力的冲量等于质点系总动量的增量因为内力，故注意内力不改变质点系的动量!初始速度：则推开后速度：

且方向相反，保证推开前后系统动量守恒：1.

质点系动量定理若质点系所受的合外力为零,则系统的总动量守恒.2.

动量守恒定律3.

应用动量守恒定律的条件(1)系统的动量守恒是指系统的总动量不变,但是系统内任一物体的动量是可变的.四、质点系的动量守恒定理(3)若某一方向合外力为零,则此方向上动量守恒

.(4)动量守恒定律只在惯性参考系中成立,是自然界最普遍、最基本的定律之一.

(2)守恒条件:合外力为零当

时，可略去外力的作用,近似地认为系统动量守恒.例如在碰撞、打击、爆炸等问题中.例题2-4粒子是氦原子核。在一次粒子散射实验中，粒子和静止的氧原子核发生“碰撞”。实验测出，碰撞后粒子沿与入射方向成角的方向运动，而氧原子核沿与粒子入射方向成角的方向运动。求碰撞前后粒子的速率比。【1909年实验，1911年卢瑟福提出原子的有核模型】MxyO

粒子散射实验解：

令粒子入射方向与x轴平行，由动量守恒定律得即碰撞后粒子的速率约为初速率的71.3%。说明：动量守恒定律也适用于高速、微观领域。力对质点所做的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积.一、功

b**a第三节动能定理能量守恒定律

合力的功=分力的功的代数和

变力的功

平均功率瞬时功率(单位：瓦特,W)【例题2-5】

马拉爬犁在水平雪地上沿一弯曲道路行走。爬犁总质量为3×103kg，它和地面的滑动摩擦系数=0.12。求马拉爬犁行走2km的过程中，路面摩擦力对爬犁做的功。

解:这是一个物体沿曲线运动，但是力的大小不变的例子。爬犁在雪地上移动任一元位移dr的过程中，它受的滑动摩擦力的大小由于滑动摩擦力的方向总与位移dr的方向相反，所以相应的元功应为其中，ds=|dr|表示元位移的大小，即相应的路程。则在爬犁从A移到B的过程中，摩擦力对它做的功就是上式中最后一项的积分为从A到B爬犁实际经过的路程s，所以＝－0.12×3000×9.81×2000=－7.06×106（J）此结果中的负号表示滑动摩擦力对爬犁做了负功。此功的大小和物体经过的路径形状有关。如果爬犁是沿直线从A到B的，则滑动摩擦力做的功的数值要比上面的小。【例题2-6】质量为m的摆锤系于绳的下端，绳长为l，上端固定，一个水平力F从零逐渐增大，缓慢地作用在摆锤上，使摆锤虽得以移动，但在所有时间内均无限地接近于力平衡，一直到绳子与竖直线成角的位置.试计算变力F所做的功？

【选两种方法】dsFlmgT【解法一】选摆锤为研究对象。将力沿水平、竖直方向分解。力F对摆锤所做的总功为

dsFlmgT【解法二】能量守恒方法【例题2-7】

矿砂自料槽均匀竖直下落到水平运动的传送带上，如图所示。设落砂量qm=50kg·s-1，传送带速率为1.5m·s-1。不计轴上摩擦。求保持传送带匀速运动所需的电动机的功率。解：传送带作水平匀速运动。则电动机对传送带的水平拖力F的大小，应等于矿砂对皮带的水平作用力F砂的大小（方向为水平向左），即F=F砂。

对矿砂应用动量定理，可以求出传送带对砂的水平力（方向为水平向右）。设在某极短时间△t内，落于传送带上的矿砂质量写出水平方向动量定理式，有由此求得由牛顿第三定律故所需电动机的功率为总功：二、质点的动能定理ba功和动能都与

参考系有关；动能定理仅适用于惯性系.注意合外力对质点所做的功,等于质点动能的增量.

动能定理

动能定义（状态函数）【例题2-8】把质量为m的物体，从地球表面沿铅直方向发射出去，试求能使物体脱离地球引力场而作宇宙飞行所需的最小初速度——第二宇宙速度。解：取地球中心为坐标原点并假设地球是半径为R、质量为M的均质球。在物体从初始位置（r1=R）运动到末了位置（r2=∞）的过程中，不考虑空气阻力，只有万有引力做功，由动能定理可写出其中，负号是因为引力方向与位移方向相反。积分上式，并考虑到可得由此解得将M=5.98×1024kg，，R=6370km带入上式得这个结果与例题2-4的结果相同。质点：m1，m2初速度：外力：内力：三、质点系的动能定理末速度：两式相加得：外力的功之和＋内力的功之和=系统末动能－系统初动能质点系动能定理:质点系所有外力和内力做功的代数和，等于质点系动能的增量。

W外＋W内＝Ek–Ek0【例题2-9】在图2-15（a）所示的装置中，物体A、B的质量mA=mB=0.01kg，物体B与桌面间的滑动摩擦系数μ=0.10，滑轮质量不计，连接A、B的绳子质量忽略不计且不可伸长。求物体A自静止落下1.0m时的速度（此时B仍在桌面上）。解：

将A、B视为一个质点系，分析受力情况并画出示力图，如图（b）所示。以A、B静止时为初始状态（），A落下1.0m时为末状态（），对A、B考虑到

，，，由上式可得组成的质点系应用动能定理，本例亦可直接运用牛顿第二定律求解。1.万有引力、重力、弹性力做功的特点—保守力以

为参考系，的位置矢量为.四、势能机械能守恒定律对

的万有引力为a点移动到b点时F做功mdrrbraab万有引力做功【补充内容】结论：万有引力的功仅由质点的始末位置决定，而与路径无关。mdrrbraabab重力做功结论：重力做功只与质点的始末位置有关，而与所经过的路径无关。弹性力做功结论：弹性力做功只与弹簧的始末位置有关,而与弹性形变的过程无关。保守力——力所做的功与路径无关，仅决定于相互作用质点的始末相对位置.2.保守力和非保守力重力功弹力功引力功结论：